Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
поскольку
а V2 (1 — т3) — оператор проектирования для нейтронных состояний. Полный
‘заряд системы дается выражением
При бесконечно малое повороте на угол е вокруг 1-й оси в зарядовом
пространстве if) изменяется согласно закону, требуемому для
преобразования спинора в трехмерном евклидовом пространстве:
Отсюда следует, что гамильтониан Н [равенство (8.135)] есть скаляр в
зарядовом пространстве, поскольку он инвариантен относительно вращений.
(Вспомним обсуждение в гл. 1 трансформационных свойств билинейных величин
ф*Огф при вращениях.) Унитарное преобразование ехр(ге7)), вызывающее
малое вращение вокруг l-й оси, можно определить из требования, чтобы
Ф= (рп).
(8.1336)
(8.134)
(8.135)
Введем матрицы Паули т, (размерности 2x2), причем
(8.136)
(8.137)
(8.138)
которое можно переписать с помощью операторов ф:
= 6 \ :Фу(1+тз) 4°'Ф : dsx.
(8.139)
(8.140)
eiETiye-ieTi = ty+M[Th ф] = (/’1 -fljeO ф, (8.141)
Ч ^ У
т. е. чтобы
[Ти ф] = j Иф.
(8.142)
§ 4. Описание нуклонов в теории поля
233
В качестве Т можно выбрать Тj = y ^ d3x : ф*т/ф : =
= 4 5 d*x = 4 S daiL(x) $Yn. • (8.143)
Сравнивая (8.143) и (8.139), замечаем, что выражение для полного заряда Q
можно записать в виде
Q= j фу^ф : + Т3, (8.144)
е
где выражение ^ dov- : : есть оператор, соответствующий полному
числу нуклонов минус полное число антинуклонов. Можно проверить, что
одночастичные состояния являются собственными состояниями оператора Т3.
Находим
ТЪ\Р) = \\Р), 7’з1«)=-у|и), (8-145)
ТАР)=- - j\P)’ Tz\n) = j\ п).
Обозначения очевидны. Соотношения коммутации для операторов Tt
определяются из перестановочных соотношении для ф:
[Ти T,]=izmTh. (8.146)
Таким образом, еще раз, как и для мезонов, получаем, что
операторы
'1\ изоморфны операторам момента количества движения. Отсюда
выте-
кают и аналогичные следствия (см., например, [529]). Величины Tt есть
интегралы движения, поскольку их можно представить как пространственные
интегралы . от четвертой компоненты сохраняющегося тока. Из
инвариантности лагранжиана относительно вращений в пространстве
изотопического спина (в пространстве, где ф преобразуется как обычный
спинор), при которых
ф —ф + у г'етгф (8.147)
или
— _
бф = -L- (ет;ф, (8.148а)
6ф= ?—у1ефтг. ' (8.1486)
получаем следующие законы сохранения [вспомним равенство (7.339)]:
О = д11 ( ——-— бф бф = 0 = ди. : фу^Тгф :. (8.149)
4 9(9^) т 9(9^) J а тг (т v )
Иначе говоря, равенство (8.149) утверждает, что изотопический ток
= ^ : фу^тгф : (8.150)
сохраняется, = 0 (г = 1, 2, 3), так что величины
^ do^Ji (8.151)
О
есть интегралы движения.
Г Л А В А 9
Квантование электромагнитного поля
§ 1. Лагранжиан классической теории
Калибровочно-инвариантный лагранжиан для электромагнитного поля имеет
видх)
(9.1)
где — тензор электромагнитного поля, связанный с потенциалами А и ф:.
яда (х) я/IV (х)
FBV (*) = = ли. V {х) _ ^ к (*). (9.2)
Здесь А^ = (ф, A), Foh = '?k—вектор напряженности электрического поля,
Fhl = где —-вектор напряженности магнитного поля, а
-Va (g2-<3T).
Варьирование лагранжиана (9.1) по потенциалам ведет к уравнениям
Максвелла
0, (9.3)
которые выражаются через потенциалы следующим образом:
? Av- (х) — д^% (х) = 0, (9.4а)
%(x) — dvAv(x). (9.46)
В классической теории можно выбрать лоренцеву калибровку % = 0. Тогда
уравнения Максвелла эквивалентны уравнению ПА^(х) =0 при условии, что % =
0. Написанный выше лагранжиан вызывает затруднения, связанные с тем, что
канонически сопряженный с А0 импульс тождественно равен нулю, так что
гамильтонову теорию необходимо видоизменять. В квантовой теории, где А0 и
я0 являются операторами, удовлетворяющими определенным перестановочным
соотношениям, равенство я0 нулю приводит к дальнейшим осложнениям.
!) Повсюду в этой книге мы будем пользоваться рационализированной
системой единиц Хевисайда — Лоренца, так что е2/4яй,с = а = 1/(137).
Используемые здесь потенциалы связаны с потенциалами в гауссовой системе
единиц множителем 1/|/'4я. Лагранжиан (9.1) в гауссовой системе единиц
равен—(16я)-1 F^F^.
§ 1. Лагранжиан классической теории
235
Чтобы обойти указанную трудность, лагранжиан электромагнитного поля часто
записывают, согласно Ферми [240, 241, 242], в виде
* = -Tf^-T(^)' <9-5>
Этот лагранжиан, благодаря присутствию члена %2, не является
калибровочно-инвариантным. Ясно, однако, что он релятивистски
инвариантен. Использование такого лагранжиана дает в результате
варьирования по Ац следующие уравнения движения:
— (3,^ = 0 (9.6а)
или
? 4V = 0. (9.66)
Эти уравнения не эквивалентны уравнениям Максвелла.
Чтобы они были эквивалентными, нужно наложить дополнительные условия,
потребовав, чтобы
% = 0 при < = 0 (9.7а)
«И
-^- = 0 при < = 0. (9.76)
Тогда в силу уравнения движения ?Х = 0, следующего из уравнения (9.6), %
= 0 для всех моментов времени. Позднее мы обсудим роль дополнительного
условия в случае квантовой теории.
Лагранжиан (9.5) можно переписать в виде
1 д {л у дА* \
2 ч dxv J v Qxv ) 2 v dxv )
