Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(9.8)
Это выражение равно
%=------^-4a.v^jV, (9.9)
когда % = 0 и если пренебречь членом, имеющим вид дивергенции. Если
использовать (9.9), то канонически сопряженный с
импульс теперь
равен
(9.10)
0
так что гамильтониан дается выражением
H=^3&d*x, (9.11а)
3
30= -^ A*,A*’h. (9.116)
h=l
Последнее выражение по структуре похоже на формулу для энергии
суперпозиции четырех скалярных полей. Однако оно не является положительно
определенным, поскольку компонента с ц = 0, входящая в Н, отрицательно
определена. Так получилось потому, что мы пока еще не использовали
дополнительного условия, с помощью которого
236
Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
гамильтониан в действительности приводится к положительно определен-ному
виду, именно: к знакомому выражению 1/2 (Л2 + et€2) (см. [341] и
изложенное ниже).
Необходимо отметить, что все приведенное выше рассмотрение основывалось
на использовании потенциалов в качестве переменных поля. Это становится
источником трудностей, особенно в случае квантовой теории, ибо величины
Ац определяются неоднозначно. Наблюдаемыми являются лишь электрическое и
магнитное поля: Ajl> v — Av^ При описании, использующем только потенциалы
Аимеется свобода калибровочных преобразований, при которых
поскольку тензор F^v инвариантен при таком преобразовании.
Функция Л в соотношении (9.12) должна в силу дополнительного условия % =
0 удовлетворять уравнению ?Л = 0, а в остальном является произвольной.
Требование калибровочной инвариантности заключается в том, что все
физически наблюдаемые полевые величины должны оставаться инвариантными
при преобразовании (9.12):).
§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера
Канонические перестановочные соотношения имеют вид
С помощью аргументов, аналогичных тем, что приводят к перестановочным
соотношениям для скалярного поля, можно показать, что ковари-антные
перестановочные соотношения для электромагнитных потенциалов суть
где функция D(x-x’) равна &.(х — х') при ц = 0. Следует отметить отличие
в знаке правой части (9.14) для временной компоненты по сравнению с
пространственными. Функция D (х) в явном виде [398] запишется так:
(9.12)
[я^(х), Av(x’)]xts=x^= -и ц,с6()6(х —х'),
(9.13а)
ИЛИ
[Ля.0(;г), A^{x’)\x(j=^ = -ihcб?б(х-х').
(9.136)
[А^{х), Av{x’)]= — iPcg^D{x— х')
(9.14)
СО
= ~ ~4яТГГ 5б (I х I _ “ 6 (I х i + х<>)} =
~ е (х0) б (х2).
(9.15)
!) Калибровочную инвариантность в квантовой теории можно понимать как
условие того, что 4-вскторное поле описывает только кванты со спином 1
(см. [914,. 915]). —Прим. ред.
§ 2. Квантование. Формализм Гупта—Блейлера
237
Чотная сингулярная функция дается выражением1)
СО
D{l)(z) = -ЩуГ $ "17?ik'х cos Vo = - 2йа]^г j dk sin к 1 х Icos кх°
ho>0 О
|Р
1
4я2 | х ! 1 [ х I — ir0 1 | х |-рг0 j
= -7гр7 . (в.1в)
где Р (1/х2) означает, что при интегрировании в особой точке при х2 = О
нужно брать главное значение интеграла. С помощью перестановочных
соотношений (9.13), (9.14) можно проверить, что
[Н, А^{х)]=--------^ [яу (х') яу (%'), Av_(x)} d3x'= ihcn^ix).
(9.17)
Так как правая часть этого равенства равна ihcAlli 0 = i%cd0All, то
перестановочные соотношения согласуются с толкованием гамильтониана
(9.11) как оператора сдвига по времени.
Вспомним, что для каждого трехмерного импульса к существуют четыре
независимых решения уравнения П]А^ — 0, имеющие вид плоских волн.
Разложение оператора А^ (х) по этим решениям есть
= Vw $ 2 <к> (аШ ^ е-*-* + а<«* (к) е*-*}
я=о
(fc0 = |k|), (9.18) •
где (к) (Я = 0, 1, 2, 3) суть четыре (линейно независимых) единичных
вектора поляризации, которые можно выбрать так, чтобы они образовывали
ортонормированную систему, причем
ej^e^ = gu\ (9.19)
где g>x — метрический тензор. В равенстве (9.18) сумма по (Я) есть
обычная сумма (а не лоренц-инвариантное скалярное произведение) по
четырем решениям, соответствующим различным поляризациям. Рассмотрим
также операторы
з
а„(к)= ? e^(k)aW(k), (9.20)
Я—о
н*(к)= 2 4A)(k)aW‘(k), ' (9.21)
>.=о
которые удовлетворяют перестановочным соотношениям
(k), а% (к')] = — g^vk^A (к — к') (*0 = | к J), (9.22а)
К (к), flv(k')]=K(k), аИк')]=0, (9.226)
9 Заметим, что lira, г \ exp [ — i (ж — ге) Я] dk — lim [1/(дт — ге)] = Р
г'яб (х).
е->0+ а е->0+
ш
Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
что проверяется с помощью равенства (9.14). Выраженный через эти
операторы гамильтониан имеет вид
Чтобы получить физическую интерпретацию рассматриваемой квантованной
теории по аналогии со случаем скалярного поля, предположим, что операторы
(к) при ц = 0, 1, 2, 3 являются операторами уничтожения, а операторы
а?(к) при ц = 0, 1, 2, 3 — операторами рождения. Дополнительно примем,
что существует состояние вакуума |0), которое, характеризуется тем, что
а^ (к) | 0) = 0 для всех к и всех р. Однако эти допущения ведут к
трудностям, поскольку среднее по вакууму от оператора а0 (к) а* (к')
равно
(0 | а0 (к) ао (к') 10) = (01 [а0 (к), а0* (к')] 10) = -?006 (к - к') к0,
