Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
C-lS{x-x')C= -ST{x'-x), (8.121)
230
Гл. 8. Квантование поля Дирака
которое доказывается таким же способом, как и равенство (8.103).
Постулируется, что вакуум инвариантен относительно операции С/с, т. е.
Теория будет инвариантной относительно зарядового сопряжения, если можно
так выбрать фазовый множитель г|с, что гамильтониан Н будет инвариантен
относительно Uc, т. е. если UcHUzl = Н. Так как при операции зарядового
сопряжения произведение операторов преобразуется в произведение эрмитово
сопряженных операторов, то окончательный порядок множителей в общем
случае отличается от начального. В частности, не инвариантен
гамильтониан, записанный в виде (8.9) или (8.10). Чтобы сделать теорию
инвариантной относительно зарядового сопряжения, необходимо либо
антисимметризовать множители в гамильтониане [518, 714], либо
постулировать запись в виде нормального произведения, т. е. нужно писать
В теории свободного поля оба способа эквивалентны. Чтобы обеспечить
инвариантность теории относительно зарядового сопряжения в случае
взаимодействующих полей в гейзенберговской картине, когда нельзя столь
непосредственно определить нормальное произведение, обычно используют
антисимметризацию. Мы предоставим читателю в качестве упражнения получить
трансформационные свойства билинейных комбинаций ф<?;ф при зарядовом
сопряжении. Отметим только, что
Закон преобразования операторов поля при обращении времени определим
следующим образом:
Чтобы сохранить инвариантность перестановочных соотношений, оператор U
(it) должен быть антиунитарным, а множитель г|7, по модулю должен быть
равен единице. Можно проверить, что гамильтониан Н инвариантен в том
смысле, что
Трансформационные свойства билинейных ковариантных комбинаций при
обращении времени следующие [515]:
и с |0) = |0).
или
Е=~'\ \ {т [^°>5оф]_— у [<Э0фу°, ф)_} , Н — y ^ d3x : фуодоф — дофуо •
ф:.
(8.1226)
(8.122а)
ис]'ц{х) ис1= — /я (ж).
(8.123)
4
^(ч)Фа(ж) t/(it)"1 = TVr 2 (С,'1Уб)аа'фа' (ЧЖ) (8.124a)
а'=1
И
_ 4 >
U(it)^Pa(x)U(ity1 = r\T 2 фа' (hx) (YbQa'a- (8.1246)
4
а'=1
U(it)&e(x)U(itY' = &e(itx) и U(it)H(t)U(it)^ = H(-t).
U (it) ф (ж) ф (ж) U (U) 1 = ф (цх) ф (цх)
(8.125)
U (it) ф(ж)у5ф (ж) U (t<)'1= — 'P(hx) y5ip(itx), (8.126)
§ 4. Описание нуклонов в теории поля
231
?/? (I/) $(*).{ Ф (*)17 ({*)'1 = $ (8.128)
U (U) $ (*) {21} Ф (*) U (itУ1 = ф (г» ^ (8,129)
При выводе этих соотношений важную роль играет антиунитарность оператора
U (it):
U (it)% (х) 0;ф (х) U (ity1 = U (it) ф (х) U (itY'U (it) 0*ф (х) U (i,)_1
=
= U (it) $ (х) U (ity1OiU (it) ip (х) U (it)'1 =
= ф (itx) уbCOfi^y^ (itx). (8.130a)
Так как
О, = <9?T = - C-'OtC, (8.1306)
то правая часть равенства (8.130a) определится, если выразить — \ьО*уъ
через Ог.
\
§ 4. Описание нуклонов в теории поля
Существует много доводов, основанных на анализе свойств ядер, в пользу
того, что в приближении, когда можно пренебречь электромагнитными
эффектами и слабыми взаимодействиями, протон и нейтрон обладают
одинаковыми свойствами. Оба они имеют спин, равный 1/2, одинаковую
пространственную четность (которая принимается равной +1) и очень близкие
значения масс. (Предполагается, что разницу их масс можно приписать
электромагнитным эффектам [255]. Разница магнитных моментов наблюдаема
только при наличии электромагнитного поля, которое нарушает их сходство
и, конечно, позволяет различить нейтрон и протон.) Известно, что ядерные
силы (в приближении, когда пренебрегается электромагнитными эффектами)
одинаковы для любых двух нуклонов, находящихся в определенном спиновом
состоянии и в состоянии с определенным моментом количества движения.
Поэтому можно считать, что нейтрон‘и протон являются двумя состояниями
одной частицы — нуклона. (Исторический обзор по этому вопросу см. в книге
Бете и Гофмана [54].) Как можно формально записать это предположение?
Рассмотрим систему нуклонов, описываемую гамильтонианом:
Н = ^ d3x : {р (x)(—iy • д + тр) р (х) + п (х) ( — iy • д + тп) п (ж)},
(8.131)
где р, р и п, п — спинорные операторы, описывающие соответственно протоны
и нейтроны. Эти операторы подчиняются соотношениям антикоммутации:
' /-w *
{р(я)> P(z')W=^ = W^), П (*')}*=*' = +6(х-х'). (8.132)
Все другие одновременные антикоммутаторы равны нулю. Такое описание
подразумевает существование антинуклонов. Они действительно наблюдались
экспериментально.
Введем оператор
Ф=(0 (8. :133а)
tt примем, что он преобразуется, как двухкомпонентный спинор в трех-
232
Гл. 8. Квантование поля Дирака
мерном евклидовом «зарядовом» пространстве, причем сопряженный спинор
определяется, как
В последующем изложении матрицы у мы будем рассматривать как прямые
произведения четырехмерных частиц у и единичной матрицы в зарядовом
пространстве, т. о. будем рассматривать их как- восьмимерное приводимое
представление
Если теперь принять, что массы протона и нейтрона равны тп~ пгр = т, то
II можно переписать в виде
Тогда 1/2(1+т3) есть оператор проектирования для протонных состояний,
