Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 105

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 373 >> Следующая

(9.24)
так что состояние ^ / (к) а0 (к) dk 10) при ^ | / (к) |2 dk < оо обладает
отрицательной нормой. Таким образом, векторное пространство,.натянутое на
базисные векторы а% (kt). . .аз (к3я) |0), уже не является гильбертовым,
пространством с обычным скалярным произведением, так как существуют
отличные от нуля векторы с нулевой и отрицательной нормой. Поэтому
вероятностная интерпретация неприменима.
С другой стороны, мы могли бы предположить, что щ (к) при I = 1, 2, 3 и
ао (к) являются операторами уничтожения, а операторы а* (к) при 1 = 1, 2,
3 и й0 (к) — операторами рождения. Это исключает трудность с
отрицательными нормами, но ведет к другой, ибо при такой интерпретации
операторов а, а* гамильтониан Н не ограничен снизу, т. е. возможны
состояния с произвольно большой отрицательной энергией. Например,
состояние а0(к)|0), содержащее один временной фотон, имеет тогда
отрицательную энергию
Таким образом, обе интерпретации операторов a^(k) и а? (к) ведут к
трудностям. Однако мы пока не накладывали никаких дополнительных условий,
так что в действительности рассматриваемая до сих пор теория не
соответствует теории Максвелла. Иначе говоря, среднее значение потенциала
(А^, (я))чг = (VF | Ап (х) | VF) в состоянии | ?) не удовлетворяет
условию Лоренца (т. е. (Лк)хр Ф 0), и поэтому величины (k\v (x))ijr не
удовлетворяют уравнениям Максвелла.
В классической теории поля условие Лоренца (х) — 0 гарантирует, что
уравнения поля ?Л11 = 0 соответствуют уравнениям Максвелла, и
обеспечивает положительную определенность полной энергии. Однако в
квантованной теории мы уже не можем наложить условие Лоренца в виде
операторного тождества, так как это привело бы к противоречию с
перестановочными соотношениями, поскольку
Чтобы обойти эту трудность, приблизительно до 1949 г. обычно отказывались
от перестановочных соотношений (9.14) и (9.22) для нулевой и третьей
компоненты А^.
Таким образом, нужно было с помощью дополнительного условия А ^ | VF) = 0
исключать продольную и времени-подобную части вектора А^
Я= ~ S (к) а11 (к).
(9.23)
На0 (к) | 0) = [Я, а0 (к)] | 0) = - к0а0 (к) | 0).
(9.25)
I" Мц (g) L дх^
§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера
239
для возможных состояний поля | IF). Лишь остающиеся поперечные части
потенциала рассматривались как динамические переменные, и только они
квантовались. При наличии зарядов это соответствует отделению мгновенного
кулоновского взаимодействия от запаздывающего поперечного
электромагнитного взаимодействия. Однако такая процедура не является явро
релятивистски инвариантной, так как для движущегося наблюдателя
кулоновское взаимодействие (продольные волны) и поперечные волны снова
смешиваются. (В этой связи см. работу Зумино [879], где в общих чертах
излагается квантовая электродинамика в ку-лоновской калибровке и
набрасывается доказательство релятивистской инвариантности теории в такой
форме.)
Гупта [341] и Блейлер [61] развили метод, который позволяет использовать
все четыре компоненты потенциала на одинаковых основаниях, ясно
показывает релятивистскую инвариантность теории и дает возможность
непротиворечиво использовать перестановочные соотношения (9.22) и (9.14).
В их формулировке операторы (k) (|х = 0, 1, 2, 3) являются операторами
уничтожения, а операторы а[Цк) (pi = 0, 1, 2, 3)— операторами рождения,
причем эти операторы имеют следующее представление в пространстве Фока:
К(ктем.. ,ип(ки к2, • • • к„) = ^ (к, ки ... к„), (9.26а)
П
к (к) ?)<">. (к„ к2,... к„)=—-L- 2 ^лв(3) <к -х
j=i
X •-кп (^i> к2, • • -kj_i, к;+1, ... kn). (9.266)
Вакуум характеризуется условием
ад(к)|0) = 0 при ц = 0, 1,2, 3 и для всех к (9.27а)
или
(ж) 10) = О для всех х. (9.276)
Линейное векторное пространство, натянутое на базисные векторы II a\xj (к
j) [ 0), будем обозначать через 3. В пространстве 3 определяется
билинейная форма
СО
(Т, %)о - S (?- ‘Г 5 • - 5 -fjf- ?nv. (к,, ъгттка х
п~ О
х xWww • (к1? к2, . . . к„), (9.28а)
где -
• -нп (ki, к2, . . . к„) = (0 | в|п (кО ам (к2). .. аЦп (к„) | ?>,
(9.286)
XaiW---Kn (кь к2, ... к„) = (0|а|Х1(к1)а1Х2(к2)...а|Хп(кп)|х>.
(9.28в)
Затем постулируется, что все средние значения от операторов должны
вычисляться с использованием билинейной формы (Т-, %)<?. При определенном
таким образом «скалярном произведении Гупта» состояния с нечетным числом
временных фотонов имеют отрицательную норму. Такую неопределенную
билинейную форму («скалярное произведение Гупта») нужно отличать от
скалярного произведения (Т-, %), определенного фор-
240
Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
мулои
со
dski Г* d3k
X
Л- 77(1
X 2 • цп (кь к2, . . . к„) Хдхйг- • -и,, (ki, к2, . . . к„), (9.29)
К1.---Кп=0
при котором У превращается в гильбертово пространство.
Неопределенную билинейную форму (, %)G можно выразить через
скалярное про-
изведение (lF, %):
СИ Х)с = (Чг, г]/), (9.30)
где т] — некоторый линейный оператор. Сравнивая равенства (9.28) и
(9.30), получаем
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed