Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
трудность можно обойти, если вспомнить, что все представляющие физический
интерес величины можно получить из тен&ора энергии-импульса [равенство
(7.345)], который в настоящем случае, с учетом <5? = О, имеет вид
Этот тензор несимметричен, но его легко симметризовать (см., например,
[622]). Однако тензор (8.8) дает такой же 4-вектор энергии-импульса, как
и симметризованный тензор:
Последняя строка равенства (8.9) получается, если после интегрирования по
частям, опустить поверхностные члены при р = 1, 2, 3 и использовать (8.7)
для р = 0. В силу уравнений движения для полной энергии, или
гамильтониана, получаем выражение
Квантование поля Дирака со спином, равным 1/2, можно провести по аналогии
с квантованием скалярного поля. Следует ожидать, что коэффициенты
разложения шредингеровских операторов поля ф (х), ф (х) по полному набору
решений wn (х) уравнения Дирака для свободной частицы можно будет
интерпретировать, как операторы рождения и уничтожения. Индекс п у wn
обозначает совокупность собственных значений полного набора наблюдаемых
для одной частицы: энергии, импульса и проекции спина частицы. Функции wn
(х) равны спинорам wT (р) (г = 1, 2, 3, 4), умноженным на соответствующие
плоские волны.
/и (я) = еф (я) (я^
(8.6)
д
дх°
^ фу°фй3ж =.0.
(8.7)
(8.8)
(8.9)
Н=Р° =
^ d3xT00 = ^ й3жф (ж) ( —iv v +т) ф (х)
(8.10)
Так,
wT (х) = wT (р) е^'х при г = 1, 2,
wr (х) = vT (р) е~й>'х при г = 3, 4.
(8.11)
§ 1. Перестановочные соотношения
215
Спиноры wr (р) были введены ранее в гл. 4 [см. равенства (4.141)]. В
шредингеровской картине разложения операторов ф (х) и ф (х) даются
выражениями
^“ 'vw ^ V тйтbnWn ^ ^8'12а)
’ П
И _____
= (8.126)
п
причем суммирование проводится но состояниям как с
положительной,
так и с отрицательной энергией. Множитель (т/\ Еп I)1/2 включен в
силу
принятой нормировки спиноров: ww~e.
Рассмотрим теперь гамильтонов оператор поля, который, согласно равенству
(8.10), равен
Н = ^ d3xxр (х) ( — iy-V + т) ф (х). (8.13)
Подставляя в Н выражения (8.11) и (8.12), получаем
Н=^Ь*пЪтЕт, (8.14)
т
где Ет — собственные значения оператора Дирака а-р + |3т. Если при
квантовании теории использовать перестановочные соотношения для бозе-
поля, то мы столкнемся с трудностями. Прежде всего, если интерпретировать
b*bn как оператор числа частиц, то энергия поля может быть как
положительной, так и отрицательной, поскольку собственные значения Еп
могут иметь оба знака, а 0. Далее, если операторы числа частиц
могут иметь любые целые положительные собственные значения, что следует
из перестановочных соотношений для бозе-поля [см., например, равенства
(6.60) — (6.62)], тогда допустимы состояния с произвольно большой
отрицательной энергией. А это не имеет физического смысла. На самом деле
из опыта известно, что частицы со спином, равным 1/2, подчиняются
принципу Паули, и поэтому в любом состоянии т. не может быть больше одной
частицы (т включает определенную энергию, импульс и проекцию спина).
Квантование с помощью коммутаторов, ведущее к статистике Бозе, поэтому
неправильно, так как разрешает любому числу частиц находиться в одном
состоянии.
Как мы уже отмечали в гл. 6, схема квантования, включающая принцип Паули,
была развита Иорданом и Вигнером [399]. В этой схеме операторы вместо
перестановочных соотношений удовлетворяют соотношениям «антикоммутации»:
[Ъп, &т]+=[Ь?, Ь*т\+ = 0, (8.15)
[Ъп, Ь*т]+ = дпт. - (8.16)
Оператор числа частиц в состоянии т по-прежнему дается выражением
Nm = bmbm, ' (8.17)
но из перестановочных соотношений (8.15), (8.16) теперь следует Nm =
ЬтЬтЬ%Ьт =
= b?n(l-b*mbm)bm = b*mbm =
= N.„. (8.18)
216
Гл. 8. Квантование поля Дирака
так что, в согласии с принципом Паули, числа заполнения могут быть равны
только нулю или единице. Уже из перестановочных соотношений (8.15) видно,
что в одно состояние нельзя поместить более одной частицы, так как два
оператора рождения при действии на любой вектор дают вектор, равный нулю.
Используя антикоммутационные соотношения, мы удовлетворили принципу
Паули, но еще остается та трудность, что гамильтониан не является
положительно определенным. Она устраняется с помощью идеи Дирака о том,
что в вакууме заполнены все состояния с отрицательной энергией. Если
индекс т записать явно как (Р> г), где г пробегает четыре значения,
соответствующие четырем решениям при данном р (г = 1, 2 для.
положительной энергии и г = 3, 4 для отрицательной энергии), тогда в
пределе непрерывных значений р, разложение т|) (х) [см. равенство (8.12)]
принимает вид
= С^)1/2{2 MP)^r(P)eip x + 2 M-p)®r(P)e~ip'x}f*^'
(8.19)
причем
?p=+Vp4^. (8.20)
Если обозначить операторы числа частиц через
Л^+) (р) = Ъ* (р) ЪТ (р) при г = 1, 2, (8.21)
(р) = К+г (Р) Ьг+2 (р) при г = 1, 2, (8.22)
тогда гамильтониан можно переписать следующим образом:
2
Н = 5 d*p 2 Ер [А<+> (р) - (р)}. (8.23)
Г=1
Аналогично, с помощью операторов числа частиц можно выразить и полный
заряд х)
