Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 98

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 373 >> Следующая

является состоянием без частиц и состоянием с наинизшей энергией. Вакуум
инвариантен при всех преобразованиях Лоренца. С другой стороны, его можно
охарактеризовать условием
Ьг (р) [ Фо) = dT (р) | Ф0) = 0 (для всех г и всех р). (8.33)
Отметим, что при такой формулировке уже ничего не говорится о «фоне»
электронов отрицательных энергий.
1) Это возможно, поскольку операторы удовлетворяют соотношениям анти-
коммутации, которые остаются инвариантными при замене Ь <—>? Ь*.
§ 2. Конфигурационное пространство
219
Правила коммутации операторов числа частиц (р) с операторами МР)> ь*(р)
СУТЬ
Для коммутаций JV(±) с операторами античастиц имеют место аналогичные
выражения. Следовательно, состояние Ь* (р) | Ф0) есть одночастичное
состояние с импульсом р и проекцией спина s; (pi) Ь*2 (р2) |Ф0) —
двухчастичное состояние и т. д.; состояние d*1 (q4) |Ф0) — состояние с
одной античастицей и т. д. Базисные векторы представления, в котором
операторы числа частиц диагональны, имеют вид
Pi • * • Pm^m> 41*1, ? • • э ^\п^п)
§ 2. Конфигурационное пространство
Гейзенберговский оператор ф (х) получается из гаредингеровского оператора
ф (х) с помощью зависящего <^т, времени унитарного преобразования
= \ d3f {br{p)wT{p)eiP- + dr{v)vr(p)e-iv^},
\ I г— \
1) Обсуждение релятивистской инвариантности облегчается, если ввести
операторы Ь’г = (Р) ът (Р). <MP) = l^?(P)rfs(P), так что интегрирование
в (8.40)
— (8.42) проводится по гиперболоиду pi—р2 = т2 (р0>0) с использованием
инвариантной меры d3p0lp0. Перестановочные соотношения (инвариантные) для
штрихованных операторов суть [ЬДр), Ь(* (р')]+=бгзб(3) (р — р') ра и т.
д., где р0 = Я(р).
[ЛД+», Ь,(Р')]= -вг.б°>(р-р')Ьг(р), [ЛД+> (р), b*s (р')] = 6rs 6<3> (р -
р') Ьг* (р),
о = [ЛД-> (р), Ъ, (р')] = [ЛД-> (Р), Ъ*. (р')].
(8.34)
(8.35)
(8.36)
(8.37)
причем
(Р] ^1» • * ? Pm' • • • qn' in' I Pl^l> • *
• Pm^mt 41 ^i? • • *qn^n) ~
(8.38)
ф-(ж) = еш°*°/Лф (x) e~iHox0/n.
(8.39)
Используя уже знакомую процедуру, находим
2
г= 1
(8.40)
(8.41)
19мф (х) + тпф (а;) = 0.
(8.42)
(8.43)1)
220
Гл. 8. Квантование поля Дирака
Положительно- и отрицательно-частотные части операторов ф(ж) и г)) (ж)
даются выражениями
r'(X) = ,S^i S МР)»» (8.44)
Ро>0 Г=1
и есть оператор уничтожения фермиона,
2
^ (Ж) = 7ъс№ S ^ (яТр))1/22 d)'(Р)»г(Р)е4р-я (8-45)
Ро>0 r= 1
и есть оператор рождения антифермиона,
2
^ = иЖ* ^ d3p Ста)17* ^ (р)(р) eiv x (8Л6)
Ро>0 ^ г=1
и есть оператор рождения фермиона,
2
ф*» (ас) = —^5^ \ S^r(p)u(p)^ip " (8-47)
Ро>0. г=1
и есть оператор уничтожения антифермиона. Из равенств (8.44) — (8.47)
следует, что
Ojj, _
ф(+) (х) =ф(_) (ж) (8.48)
И
ф<-) (ж) = ф<+) (ж). (8.49)
С помощью операторов в конфигурационном пространстве вакуум |Ф0)
характеризуется условием
ф(+> (*) I Фо) = Ф<+) (Ж) I Фо) = о. (8.50)
Перестановочные соотношения для положительно- и отрицательно-частотных
частей фиф имеют вид
1Ф<+,(^), ф(_) (*')]+ = LV_)И, ф<+)(ж')]+ = °.
[ф(+> (ж), ф<+> (*')]+ = [ф(-> (ж), ф(-> (*')!+ = 0.
(8.51)
тогда как
[Фа’(ж), ф^-)(ж')]+ = ^уз 5 d3p S d3P' С
т2 Л Vs
) А
E(v)E(p')J 2
X 2 (Мр)’ ^(р,)]+И'а(р)^р(р')е_1р'Х+1Р''Л'
Г, s~i
1 С d3p
-ip-(x-.v’)
d3P. g-ip (х-х’)
2 (2я)3 } Е (р)
==2^(^,Х^ + т)аР [
Ро>'
= + ™)ар Д<+> (X — х'; т). (8.52)
- Р о
Ро>0
§ 2. Конфигурационное пространство
221
При выводе последнего выражения мы использовали равенства (8.29),
(4.150) и (7.75). Часто встречающееся выражение — (гу*^ + т) Д (ж) мы
будем обозначать через S (ж):
— (гу^дц + тп) Д (ж — ж'; m) — S(x — x'). (8.53)
Тогда перестановочные соотношения (8.52) принимают вид
]г|4+)(ж), \jfc>(a:,)]+= —iS$(x — x'), (8.54)
где
5<+) (х) — — (гуц дц + тп) Д<4> (х). (8.55)
Аналогично пол у чаем
li"1 (i), Фр° (•*')]+= —iS$ (ж — х'), (8.56)
где
5(_)(ж) = — (iy* дц-{-т) Дм(ж), (8.57)
и вообще
[фо (х), Фр (*')], = — iSap (х - ж'), (8.58)
причем
S (х) = А4*1 (ж) + Sl~’ (ж). (8.59)
(>дновременные перестановочные соотношения будут иметь вид
|фо(я), Фр(^')1+|»:о=^ = — Yap (х — х') |*0=5г' = + YoP б(3) (х — х'),
(8.60)
если вспомнить, что Д (0, х) = 0 и д0Д (ж) |Жо_0 = — 6<3) (х).
Умножая
(8.60) на у0, получаем канонические антикоммутационные соотношения для
дираковского поля:
[фо(я), Фр (а:')]+|д;0=.х' = 6(3)(х — х'). (8.61)
Далее будут важны следующие свойства функции S (ж):
(г 0 —m) S (ж) = — (г $ — т) (г 0 + т) Д (ж) =
= +(П + т2) Д(ж) =
= 0 (8.62)
[что согласуется с равенством (8.58) и с тем, что ф(ж), ф(ж) подчиняются
уравнениям Дирака] и
S (х) 1*0=0 = iy°& (х). (8.63)
Дифференциальное уравнение (8.62) и начальное условие (8.63) однозначно
определяют функцию S. Эта сингулярная функция играет роль функции Грина
при решении задачи с заданными начальными значениями.
Доказательство: Теорема Гаусса утверждает, что
jj дц Рц (х) d*x = ^ datl (х') F»(x')< (8.64)
а 2
где 2 —поверхность, ограничивающая объем Q. Если в качестве F выбрать
Гд(ж') = S(x — ж') уцф(ж'), (8.65)
222
Гл. 8. Квантование поля Дирака
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed