Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
ИСХИ^ = Х. (7.333)
То же самое справедливо относительно перестановочных соотношений, что и
означает инвариантность теории относительно зарядового сопряжения.
Отметим, что оператор полного заряда Q антикоммутирует с Uc:
UCQU?=-Q. (7.334)
Действительное поле, описывающее частицы, тождественные с античастицами,
с помощью операции зарядового сопряжения может быть охарактеризовано
условием
фс(ж) = ф*(ж) = ф(х). (7.335)
Такое соотношение между оператором ф и зарядово-сопряженным оператором фе
обеспечивает тождественность состояний с частицами и состояний с
античастицами. Для такого поля равенства (7.335) и (7.332) дают т)с =
т)с- СлеД°вательно, г\с должно быть действительным и равным + 1.
Аналогичные аргументы показывают, что для зарядово-самосопряженных полей
фазовые множители г)р и т)т действительны и могут быть равны только + 1.
Интересно отметить, что Vc и V (is) для бозе-поля коммутируют, поскольку
UCU (is) ф(я) U (isj^Uc1 — U (is) t/сф (х) U^U (is)_1 = 'Пс'Прф* (isx).
(7.336) Это справедливо лишь для частиц с целым спином. ,
§ 7. Законы сохранения и лагранжев формализм
При обсуждении заряженного скалярного поля мы уже кратко отмечали, как
обобщается лагранжев формализм, чтобы включить поля более
И Отметим, что понятие зарядовой четности имеет смысл лишь для
нейтральной системы; точнее, в том случае, если система переходит при
зарядовом сопряжении сама в себя. См,, например, книгу Ахиезера и
Берестецкого [3], а также [905].— Прим. ред.
204
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
чем с одной компонентой. Обозначим посредством фг (ж) (г = 1, 2, .. . п)
любое такое многокомпонентное поле. Тогда изменение лагранжевой плотности
X = X (фг, фГц) при варьировании фг есть
Ф-) • (7.337)
Г=1 Г=1
Из принципа действия, требующего, чтобы б/ = б ^ Х№х = 0 при любых
п
вариациях бфг, равных нулю на поверхности 2 объема Q,
вытекают
уравнения
w-b-^=Q о-1’2* ?•?»)? (7-338>
которые являются уравнениями поля. Поэтому для полей, удовлетворяющих
уравнениям движения, изменение лагранжевой плотности дХ, вызванное
вариациями фг, имеет вид
^ = <7-339>
Г=1 ’
Это равенство дает возможность вывести различные законы сохранения,
рассматривая различные типы вариаций полей фг [629, 377].
Рассмотрим сначала случай, когда X явно не зависит от пространственно-
временных координат и когда вариация бфг вызывается бесконечно малым
сдвигом
х —> х’ — х -р га, (7.340)
при котором
фг (я) —> ф) (х') = ф;. (х+ га) = фг (х) + бфг (х). (7.341)
Вариация бфг в первом порядке по е равна
бфг (х) = ф; (х') — фг (х) = е (-^)Е==0 + О (е2) = еа^фг (х).
(7.342)
Аналогично, вариация плотности лагранжиана равна дХ =Х (cp'r(x'),
cp'rv(x')) — X (срr(x), (prv(x)) =
= (Х')1)е=о = еа^ (фг (Х)’ «Prv (*))• (7.343)
Равенство (7.339) утверждает, что
71
еа^{бм^-2^(^-Эмфг)} = 0. (7.344)
Г=1
Так как Щ1 произвольно, то из равенства (7.344) следует
Ч'2т|дг ' (7.345а)
Г= 1 ’
-~~Г^ = 0. (7.3456)
§ 7. Законы сохранения и лагранжев формализм
205
Это закон сохранения канонического тензора энергии-импульса. Тензорный
характер Т'^у при собственных преобразованиях Лоренца является следствием
принятых трансформационных свойств X, именно, предположения о том, что X
преобразуется при собственных преобразованиях Лоренца, как скаляр.
Как было показано ранее [см. равенства (7.219)
и (7.220)], из равенства (7.345) следует постоянство во времени
4-вектора
полной энергии-импульса
= J dav (х) (7.346)
а
Рассмотрение, аналогичное приведенному выше, можно провести и в случае,
когда вариация фг вызывается бесконечно малым однородным преобразованием
Лоренца:
^ = (Лз/)ц = (6ц -ц еА,ц) xv, 247)
JtBV = _
Предполагается, что при этом срг преобразуются следующим образом:
П П
фг {х) —> фг (х') = 2 в8г (л) (х) ^ 2 (+т ) ф* (х) > (7-
348а)
S=1 S— 1
причем
b?v = -Ъ7*. (7.3486)
Из лоренц-инвариантности лагранжиана следует, что
(фр (ж'), фгц (s')) = X (фг (х), фГц (х)) =
= Х((В-у)г(х'), (В-у)г(х')), (7.349)
т. е. X и X' имеют одинаковые численные значения в одной и той же точке,
понимаемой в физическом смысле. Можно проверить, что равенство
(7.339) в случае вариаций, вызванных бесконечно малым
однородным преобразованием Лоренца, ведет к тому, что' тензор
0
П
m'Kv0== ^ Ъ7У~—-^х^Т^-х^Г^ (7.350)
Ту s—i
сохраняется и удовлетворяет условию
dQm'»v 0 = 0. (7.351)
Поэтому можно определить шесть не зависящих от времени величин
M'w —. ^ нг'ато doQ (х), ' (7.352).
О , •
образующих компоненты антисимметричного тензора, нгичем пространственные
компоненты соответствуют компонентам момента количества движения системы,
а временные компоненты связаны с координатами центра масс системы [652,
562, 563, 564]. Первый член в равенстве (7.350) соответствует плотности
спинового момента количества движения, а член xvT,>lQ — x^T'VQ —
плотности орбитального момента количества движения.
206
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Белинфанте [42] показал, как можно переопределить канонический тензор
