Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
спином, равным нулю.
Соображения, которые привели Дирака к его уравнению [169], следующие. Для
того чтобы предотвратить появление отрицательных вероятностей, нужно,
чтобы в выражении для плотности q не было производных по времени. Поэтому
волновое уравнение должно содержать производные по времени не выше
первого порядка. Далее, релятивистская ковариантность требует полной
симметрии по всем пространственным и временным координатам. Поэтому
нужно, чтобы в волновое уравнение входили производные только первого
порядка и по пространственным переменным. Таким образом, волновая функция
Дирака должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению первого
порядка по всем четырем координатам. Линейность уравнения нужна, чтобы
удовлетворить принципу суперпозиции квантовой механики. Наконец, если
мы.хотим, чтобы волновая функция ф описывала свободную частицу с массой
т, то нужно потребовать, чтобы она подчинялась уравнению
(? + ^) !>(*) = О, (4.1)
так как это уравнение означает, что между энергией и импульсом свободной
частицы выполняется соотношение рг = т2с2 и что в согласии с принципом
соответствия имеется предельный переход к случаю классической теории
относительности.
74
Гл. 4. Уравнение Дирака
Аналогичная ситуация встречается в электродинамике, где уравнения
Максвелла являются уравнениями первого порядка, связывающими компоненты
напряженностей поля. В то же время каждая компонента электрической и
магнитной напряженностей подчиняется волновому уравнению. Волновое
уравнение в электродинамике является уравнением второго порядка, не
содержащим массового члена, что свидетельствует о нулевой массе покоя
фотона.
Предположим, что ф имеет А’компонент фг (I = 1, . . , А), причем мы
заранее не фиксируем значение А; в дальнейшем оно окажется равным
четырем. Наиболее общим линейным уравнением первого порядка является
уравнение, выражающее временную производную одной компоненты в виде
линейной комбинации всех компонент и их пространственных производных.
Если подставить соответствующие размерные множители, то наиболее общее
уравнение можно записать в виде
7Ж+3 2<-2г+т2М>. = 0 <' = С2.N). (4.2)
h=i п=1 п=1
На основании предположения об однородности пространства-времени
aj*n и Р1П являются безразмерными константами, не зависящими от
пространственно-временных координат х°, х1, х2, х3. Естественный способ
упрощения вида этих уравнений состоит в использовании матричной записи,
которая позволяет представить систему уравнений (4.2) в виде
444 + 2 «‘f + TW=«. (4-3)
В этом уравнении ф есть матрица-столбец с А строками,
а а1, а2, а3
и Р —матрицы, имеющие по А строк и столбцов. Уравнение (4.3)
и известно как уравнение Дирака.
Теперь найдем выражения для плотности и тока, которые соответствуют
уравнению (4.3). Так как мы хотим сохранить для q привычное определение,
то полагаем
N _ N
е= 2 2 I’M2. (4.4а)
П=1 П=1
или в матричной записи
р = ф*ф, (4.46)
где ф* —величина, эрмитово сопряженная ф, а следовательно, являющаяся
матрицей-строкой, содержащей одну строку и А столбцов. Выражение (4.4)
для плотности явно положительно определено и, таким образом, отвечает
основным требованиям Дирака. Далее потребуем, чтобы q удовлетворяла
уравнению неразрывности
0,Q + V.j = O, ' (4.5)
где ток j еще должен быть определен. Можно надеяться, что тогда будет
применима обычная вероятностная интерпретация. Величина ф* удовлетворяет
уравнению
УД4Г+2 -^(а*)*--^ф*р* = °, (4.6)
h=l Х
§ 1. Исторический обзор
75
которое получается эрмитовым сопряжением уравнения (4.3). Как и выше, «*»
является знаком эрмитова сопряжения, при котором матрицы ciP
транспонируются и комплексно сопрягаются, например
(Р*К = Р^. (4.7)
Перестановка ф с Р в (4.6) необходима потому, что ip* — строка, и,
следовательно, а* и Р* должны стоять после нее (а не перед ней).
Уравнение неразрывности типа (4.5) можно теперь вывести из уравнений
(4.3) и (4.6), если первое умножить на ip* слева, а второе —на ip справа
и сложить получившиеся результаты. Это приводит к уравнению
з
0 = -^--|-(ф*ф) + ^ (^(а*)*Ф+Ф*а*^)+^(^*ЭД>-Ф*Р*Ф)- (4-8)
k=i
Последний член не содержит производных. Поэтому, если мы хотим
отождествить уравнение (4.8) с уравнением (4.5), нужно добиться, чтобы
этот член был равен нулю. Этого можно достигнуть, если потребовать, чтобы
Р* = Р, (4.9)
т. е. чтобы матрица р была эрмитовой. Для отождествления второй группы
членов в уравнении (4.8) с дивергенцией мы потребуем далее, чтобы
ak* — ah. (4.10)
Другими словами, и а и р должны быть эрмитовыми матрицами. Другой путь,
ведущий к тому же результату, — переписать уравнение (4.3) в
гамильтоновой форме:
iftcVip = /7ф = ( — ic а-V -f рпгс2)ф. (4.11)
Ясно, что для эрмитовости Н матрицы а и Р должны быть эрмитовыми.
Сравнивая (4.5) с (4.8), заключаем
/** = сф*а,!ф. (4-12)
Для вывода дальнейших сеойств матриц а и Р нужно исследовать условия,
которые накладывает требование, чтобы функция ф удовлетворяла уравнению
