Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
оператора координаты. Он согласуется с определением координаты центра
масс в релятивистской механике (см. работы Папапетроу [619], Прайса [652]
и Мёллера [562, 563, 564]). Он также совпадает с оператором координаты,
полученным Ньютоном и Вигнером [576], вывод которых основывался на
формулировке некоторых естественных требований, которым должны
удовлетворять локализованные состояния. Ньютон и Вигнер показали, что
оператор координаты для релятивистского случая и его собственные функции
(«волновые функции локализованного состояния») определяются следующими
постулатами:
1) Совокупность всех состояний, локализованных в момент времени (=0 в
точке у = 0, должна образовывать линейное многообразие, инвариантное
относительно пространственных вращений вокруг начала координат и
пространственных и временных отражений.
2) Пространственный сдвиг состояния Ту, локализованного в некоторой точке
у, должен делать его ортогональным к совокупности состояний,
локализованных в точке у.
3) Для состояний, получабмых применением генераторов группы Лоренца к
какому-либо состоянию, должно сохраняться свойство нормируемости. Этот
постулат есть условие регулярности.
Пусть состояние То (к) в момент времени х0 = 0 локализовано в начале
координат. Оператор сдвига в импульсном пространстве есть просто
множитель ехр( —ik-a), так что полученное в результате сдвига состояние,
локализованное уже в точке у в тот же момент времени у0 = 0, запишется в
виде exp (— ik*y)-To (к). Это преобразованное состояние, согласно
постулату 2, должно быть ортогонально к состоянию То (к), т. е.
(Ту, Т0) = 6<3> (у) = J ^|Т0(к)|*в-“-У =
(3.36)
Отсюда | Т0 (к) |2 = (2я)~3к0- Если допускаются лишь функции,
удовлетворяющие условию регулярности 3, то волновой функцией состояния,
локализованного в момент времени (=0 в начале координат, будет
T0(k) = (2rt)7*/.ftJ/v (3.37)
Волновая функция состояния, локализованного в у при у0 = 0, запишется в
виде
Ту, о (к) = (2я)-3л.е-*- уftj/». • (3.38)
Представление в конфигурационном пространстве для волновой функции
локализованного состояния фу, о (х) получается подстановкой Ту, о (к)
1
: (2я)з
k0e~ik-у.
70
Гл. 3. Уравнение Клейна — Гордона
в формулу (3.16):
*>’•"(х' 0)" Угт'1' 5 ке+“~
= const-^-^у/4Я^’(фт-); г = |х — у|, (3.39)
где Нь/i — функция Ханкеля первого рода порядка б/4. Прежде всего
отметим, что эта локализованная собственная функция не
является
6-функцией, как это имело место в нерелятивистском случае, так как она
отлична от нуля при х Ф у. Функция фу> 0 (х) размазана по
пространственной области с размерами порядка 1/ц (т. е. h/\ic); при
больших
значениях г, фу> о спадает экспоненциально. Это объясняется тем, что
гильбертово пространство 3&KG содержит только решения с положительными
энергиями, а 6-функция не может быть построена только из них. Во-вторых,
следует подчеркнуть, что локализованные состояния не лоренц-ковариантны.
Они обладают максимальными свойствами симметрии, соответствующими лишь
плоскости t = const пространства-времени.
Теперь можно проверить, что волновая функция локализованного состояния
[ехр ( — гк-у)] является собственной функцией оператора (3.35),
соответствующей собственному значению у:
хор {e~ik-ад = i {'V- {-|} {e-ik' ад =
= У {е-л-ад, (3.40)
чем оправдывается понимание оператора хор как оператора координаты.
Компоненты оператора координаты xop = q коммутируют друг с другом
[?«> ?;] = 0. (3.41)
а их перестановочные соотношения с компонентами оператора импульса, как и
следовало ожидать, имеют вид
Pj] = ibij- (3.42)
При пространственных вращениях оператор q преобразуется как вектор, а при
пространственных сдвигах на а он переходит в q + a. Производная оператора
координаты по времени равна
q = i [Н, q] = i [p0i q] = ~ , (3.43)
где в правой части мы узнаем оператор скорости частицы. Наконец, если в
момент времени t = 0 имеется частица в некотором состоянии Ф (к), то
амплитуда вероятности того, что при измерении координаты в момент
времени t — 0 частица окажется в точке у, равна
(фу, Ф) = ^ J ^е-^-УЛу*Ф(к) (3.44)
§ 4. Заряженные частицы
До сих пор мы рассматривали формализм для описания нейтральных частиц со
спином, равным нулю. Обладающие электрическим зарядом
частицы с нулевым спином описываются в сущности тем же самым
фор-
мализмом, за исключением того, что волновая функция заряженной частицы
характеризуется дополнительной переменной — зарядом частицы е.
§ 4. Заряженные частицы
71
Для описания отрицательно заряженной частицы, находящейся в
электромагнитном поле, уравнение (3.2а) нужно видоизменить при помощи
обычных замен:
Р-^Р-^А, (3.45а)
(3.456)
обеспечивающих калибровочную инвариантность, где А и Ай — векторный и
скалярный потенциалы электромагнитного поля. Уравнение Клейна — Гордона
тогда принимает вид
(ih dt — еА0 (х))2 (р (х) — (— i%cV — еА (я))2 ср (х) + р2е4ср (х).
(3.46)
Плотность вероятности для этого уравнения дается выражением
е = ^^(ф5*ф-5<Ф-ф)-^гА0фф. (3-47)
