Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 33

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 373 >> Следующая

могут быть описаны непрерывной переменной. Мы рассмотрим оба типа
представлений одновремецно.
Прежде всего отметим, что для частиц без массы не существует какой-либо
системы координат, в которой обратились бы в нуль все компоненты
(ps 1 U (т) j ф) = е гротф (р, s) = ф (р, s; т).
(2.68)
idxф (р, s; т) = р0ф (р, т) = >Ар2 + т2 ф (р, s; т). (2.69)
(2.70)
60
Гл. 2. Группа Лоренца
Рр, кроме одной. Однако существует система, в которой рй принимает вид рй
= (р, 0, 0, р). Введем в этой системе обозначения
wl + iw2 = X+, (2.71а)
wl — iw2 = X_, (2.716)
ш0 = рА, (2.71в)
где, согласно уравнению (2.55), А = М 12 = Мъ. Замечаем, что W теперь
можно записать в виде
W=— wvw^= —(w\ — w\—,w\ — w'^} = {wl^iw2)(wl — iW'2) = X+X^, (2.72)
с учетом того, что в этой системе координат ш0 = ш3, а и w2 коммутируют,
[ау1; ау2] =0. С помощью (2.61) и с учетом того, что р^ = (р, 0, 0, р),
находим перестановочные соотношения
[А+, А] = -А+, ,
(2.73а)
[А_, А,] — -f- А_,
[А+, А_] = 0. (2.736)
Будем обозначать собственные функции А и И7 через ] а; (5):
W|a, Р) = а|а, Р), (2.74а)
А | а, Р> = Р | а, Р). (2.746)
Чтобы найти спектр собственных значений, замечаем на основании (2.73а),
что
[А+, А] | a, Р) = (РА+ — АА+) | а, р) = — А+1 а, Р), (2.75)
откуда
А(А+|а, р» = (р + 1)(А+|а, р» (2.76)
и аналогично
А{А_ | а, Р>} = (Р — 1) {А_ | а, р>}. (2.77)
Следовательно, А± | a, Р) есть собственные функции оператора А,
соот-
ветствующие собственным значениям р + 1. Поэтому спектр собственных
значений А имеет вид
Р = п0 + п, (2.78)
где п = 0, +1, ±2..., а 1 > ге0 > 0. Так как А = М3, то
фактически А
есть генератор трехмерных пространственных вращений в гиперплоскости,
перпендикулярной к рд. Вследствие того, что поворот на угол 2я оставляет
неизменными базисные функции однозначного представления и ведет к
умножению базисных функций двузначного представления на —1, то п0 должно
быть равно нулю для однозначных представлений и 1/2 —для двузначных. Все
векторы | а, р), преобразующиеся по неприводимому представлению,
принадлежат одному и тому же собственному значению a оператора W. Если
заменить индекс р индексом п, то в неприводимом представлении получим
(а, ге | А | а, т) — (п0 + п) Ьпт, (2.79)
и аналогично
(a, п\ А+|а, т) = албл, т+1, • (2.80а)
(а, га|А_1а, т) = М„,т.,. (2.806)
§ 3. Неоднородная группа Лоренца
61
<Следовательно,
а = (а, п | W ] а, п) = (а, п | Х^Х_ | а, та)
= (а, п | Xt1 а, п — 1} (а, п— 1| | а, п) — апЪп. (2.81)
Унитарному представлению соответствует эрмитов оператор wц, и поэтому
(Я+)* = Х-, так что ап = Ъп и а = | ап | 2> 0. Если ап — Ъп = 0, то а = 0
при всех п, поэтому Я+ = = 0 и, следовательно, Wi = w2 = 0
и = Ярр,. Заметим, что при а = 0 оператор X коммутирует со всеми
генераторами и является, таким образом, дополнительным инвариантом
группы. Вследствие этого, пока мы не затрагиваем других квантовых чисел,
кроме спина, все представления будут одномерными. При каждом целом или
полуцелом значении X существуют два неприводимых представления (при
фиксированном знаке р0), в одном из которых
Шр, = Хрц, а в другом = —Хр^. Когда X = 0, имеется только одно
со-
стояние. Поэтому при любом ненулевом значении спина частица с массой,
равной нулю, имеет только два направления поляризации, а не 2s -]- 1, как
в случае частицы с массой, отличной от нуля, и со спином s1). Примером
может служить фотон. Его спин равен единице, но он имеет только два
направления поляризации.
Представления с W — а2 > 0 являются бесконечномерными по спиновой
переменной. Поэтому если бы существовали соответствующие частицы, то они
обладали бы непрерывным спином. Мы не будем рассматривать эти
представления подробнее, так как, по-видимому, они не реализуются в
природе. Их свойства были изучены Вигнером [858] и Баргман-ном и Вигнером
[31]. Из представлений с Р = 0,W = 0, X. = 0, /4,1, . . . в природе
реализуется представление с X = Уг, соответствующее нейтрино, и
представление с X = 1, соответствующее фотону. В явном виде все
представления с Р = 0, W = 0- и с произвольным значением X были получены
Фронсдейлом [286].
Мы перечислили здесь все неприводимые представления группы Лоренца, за
исключением тех, для которых р2 < 0. Представления с р2 < 0 мы не будем
рассматривать, ибо пространство, в котором действуют эти представления,
натягивается па базисные векторы |р', ?} с р'2 < 0. Поэтому энергияро
частицы, соответствующей такому представлению, обладала бы тем
нефизическим свойством, что с помощью подходящего преобразования Лоренца
она могла бы быть сделана сколь угодно большой и отрицательной.
Безусловно, это не соответствует свойствам физической частицы. В этой
связи нужно отметить, что в представлениях, имеющих отношение к описанию
физических частиц, энергетический спектр положителен и снизу ограничен
нулевым значением, р0>0, как и должно быть для реальной частицы. Кроме
того, для этих представлений имеется хорошо определенный нерелятивистский
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed