Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Интерпретация уравнения Клейна — Гордона с учетом внешнего поля уже не
является такой простой, как в случае свободной частицы1). Рассмотрим,
например, рассеяние заряженной частицы с нулевым спином на потенциале,
отличном от нуля только в течение некоторого конечного интервала времени
Т. Волновая функция начальной частицы является суперпозицией решений
свободного уравнения Клейна — Гордона, так как она описывает реальную
частицу с положительной энергией. Однако не исключена возможность, что по
прошествии времени Т у волновой функции в результате действия потенциала
появятся компоненты с отрицательной энергией. Это означает, что станет
отличной от нуля вероятность найти частицу в состоянии с отрицательной
энергией, а этому факту априори трудно дать какую-либо разумную
физическую интерпретацию.
Можно было бы думать, что не зависящее от времени внешнее поле не
приводит к таким трудностям, так как в этом случае в уравнении (3.46)
переменные х и t разделяются и существуют решения вида
ф(х, t) = и (х) е~ш!л, (3.48)
причем
Q (*) = ии' (3.49)
так что возможны стационарные состояния. В частности, легко найти решения
в кулоновском поле еА0 — —(Ze2/r) (см., например, книгу Шиффа [703]). Как
и следовало ожидать, имеются решения с Е > 0 и соответствующие решения с
Е < 0. Частица, первоначально находившаяся в состоянии с Е > 0, всегда
будет оставаться в таком состоянии, если она не испытывает какого-либо
внешнего возмущения. Однако даже в этом случае имеются трудности с
физической интерпретацией, так как выражение (3.49) для плотности
вероятности становится отрицательным при достаточно малых г, где движение
существенным образом релятивистское. В этой области одночастичная
интерпретация теряет смысл. Релятивистская теория одной частицы полностью
последовательна только в свободном случае. Однако хотя и невозможно дать
вполне удовлетворительную физическую интерпретацию уравнения Клейна —
Гордона (3.46) при наличии
’) Последующие замечания справедливы также и для нейтральной частицы,
находящейся в некотором силовом поле.
72
Гл. 3. Уравнение Клейна — Гордона
внешнего поля, тем не менее решения уравнения (3.46) приобретут
физическое значение при интерпретации уравнения в рамках теории поля.
Поэтому вкратце рассмотрим некоторые свойства его решений в случае не
зависящего от времени магнитного поля А0 = О, А = А (х). Положительно-
частотные решения для частицы с зарядом —е можно рассматривать как
решения уравнения
ihdtф( —е, 4) = |/р2с4 4 h2 (— icV — еА)2 ф (— е, 4), (3.50)
и аналогично решения с отрицательной энергией удовлетворяют уравнению
ihdt ф(—е, —) = — |/р2с4 + h2 ( — icV — еА)2 ф (— е, —). (3.51)
В результате операции комплексного сопряжения уравнение (3.51) переходит
в уравнение
ihdtЦ>( — е, — ) = ]/р2с4 + ft2 (4 icV — еА)2ф ( - е, — ). (3.52)
Это—уравнение для положительно-частотной волновой функции частицы с
зарядом 4-е, т. е. ф (—е, —) = const • ф (-l-A +)• Итак, волновая функция
ф (—е, —) описывает частицу с положительной энергией и с зарядом -\~е —
«античастицу». Решение ф (—е, —) называют зарядово-сопряженным решением.
Аналогичное положение имеет место и для нейтральных частиц, однако в этом
случае имеется возможность отождествить нейтральную частицу с ее
античастицей. Следовательно, можно различать два сорта нейтральных
частиц: в одном частица и античастица совпадают, а во втором нет. Более
подробно эти возможности будут обсуждены при рассмотрении квантованного
варианта теории.
Мы закончим эту главу замечанием, что существует другой подход к
интерпретации одночастичного уравнения Клейна — Гордона, при котором
используется двухкомпонентная волновая функция в двухмерном зарядовом
пространстве, снабженном индефинитной метрикой (см. работы Сакаты [683],
Гайтлера [375], Кейза [112]). Норма вектора состояния равна -|-1 для
положительно заряженных частиц и —1 для отрицательно заряженных частиц.
Дальнейшие сведения об этом направлении читатель может найти в обзорной
статье Фешбаха и Вилларса [247].
ГЛАВА 4
Уравнение Дирака
§ 1. Исторический обзор
В 1928 г., пытаясь преодолеть трудности с отрицательными плотностями
вероятности в уравнении Клейна — Гордона, Дирак открыл релятивистское
уравнение, которое теперь называют в его честь. Долгое время после
открытия уравнения Дирака считали, что для частиц с массой это
единственно правильное релятивистское волновое уравнение. И только после
того, как Паули и Вайскопф в 1934 г. дали новую интерпретацию уравнения
Клейна — Гордона как уравнения для поля, это широко распространившееся
мнение было опрювергнуто. Но даже и теперь уравнение Дирака имеет особое
значение, так как оно описывает частицы со спином /4, а спин /4 имеют
электроны и протоны. Многие другие «элементарные частицы» — нейтрон, р-
мезоны и, вероятно, все известные в настоящее время гипероны (Л-, 2- и Е-
частицы), также обладают спином /4. Открытые в 1947 г. л:-мезоны были
первыми частицами с конечной массой и иным значением спина, а именно со
