Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 44

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 373 >> Следующая

+1, а все другие величины ?^v = o. Генератором для такого преобразования
согласно (4.78) будет
Т" (/?0 = у2уз- (4.79)
Если принять для матриц у представление (4.24), то
г (Я,) =--)«>«.=+{(о »,)-+42" (4-ао>
Следовательно, матрица S (0), соответствующая повороту на угол 0 вокруг
оси х1, дается выражением
0
S (Ri) = eeT<Ri> = e+i2 21 = cos | + iS, sin ~ . (4.81)
Так как »?(0 + 2я)= —S(Q), то каждому углу 0 соответствуют две матрицы S,
отличающиеся знаком. Однако отметим, что для вращений S*S = +1.
При бесконечно малом преобразовании Лоренца вдоль оси х1 к10 = - l0i = -
1 и
2’(?i) = 4YV = |a1- (4-82)
Конечному преобразованию Лоренца вдоль оси х1 соответствует матрица

S(Li) = e2 ai =ch -^- + «1 siiT^-, (4.83)
где th ю = у . В этом случае половинные углы не приводят к
неоднозначности в знаке S. Матрица S (is) пространственного отражения х'к
= — хк,х’° = ж°должна удовлетворять условиям
S-1(is)y°S(is) = y°, (4.84а)
S"(is)ykS(is)= -ук. (4.846)
86
Гл. 4. Уравнение Дирака
Поэтому в качестве S (is) можно выбрать либо + у0, либо ± iy°. Матрица S
(it) временного отражения (x'k = xh, х'° = — х°) должна удовлетворять
условиям
(it) Y° S (it) — — y°, (4.85a)
S-'(it)ykS(it) = y\ (4.856)
так что она может быть равна ± у5у° или ± гу5у°, где
у5 = у°у1у2у3.
Ответ на вопрос, какие из этих матриц S (it) и S (is)
следует выбрать
на самом деле, мы откладываем до обсуждения понятия зарядового
сопряжения.
Вкратце рассмотрим отношение волновой функции Дирака ф (х) к величинам,
преобразующимся по неприводимым представлениям собственной однородной
группы Лоренца. В гл. 2 двухкомпонентную величину, преобразующуюся по
неприводимому представлению {1/2, 0} однородной- группы Лоренца, мы
называли спинором, а величину, преобразующуюся по представлению {0, 1/а},
— сопряженным спинором. В частности, рассматривалась реализация, когда
генератором Mt вращений вокруг г-й оси в обоих представлениях служила
матрица 1/2Иь а генератором Ni преобразований Лоренца вдоль 1-т оси были
г/2 ioi для представления {х12, 0} и —1/2ioi для представления {0, 1/2}.
Если мы рассматриваем только собственные однородные преобразования
Лоренца и не рассматриваем пространственные отражения, то для описания,
частиц со спином */2 будет достаточно двухкомпонентных спиноров. Однако
при пространственном отражении генераторы преобразуются так, что М—> М, N
—> — N. Поэтому двухкомпонентный спинор и спинор, полученный из него при
помощи пространственного отражения, по-разному преобразуются при
преобразованйях Лоренца. Для того чтобы теория была инвариантна
относительно пространственных отражений, необходимо использовать
четырехкомпонентные спиноры. Так как отражения переводят спинор,
преобразующийся по представлению {1/2, 0}, в спинор, преобразующийся по
представлению {0, 1/2}, то для инвариантности нужны
четырехкомпонентные спиноры, являющиеся прямыми суммами спиноров
{1/2, 0} и {0, 1/2}.
Наглядную иллюстрацию этих замечаний можно дать, выбирая для матриц у
представление
Y°=Cl о)’ Y = (-a о)’ (4'86а)
Уь = yVyV = i (о (4.866)
При такой реализации матриц у матрица S (Л), соответствующая ограниченным
преобразованиям Лоренца, может быть записана в виде
Да,> ' • <4-87>
где S и N'—2x2 матрицы. Четырехкомпонентный дираковский спинор ф
расщепляется на два двухкомпонентных спинора (фь ф2) и (ф3, ф4), которые
при преобразованиях Лоренца преобразуются независимо. При отражениях в
начале координат спиноры (фь ф2) и (ф3, ф4) просто переставляются.
Систематическая трактовка уравнения Дирака в терминах таких
двухкомпонентных спиноров была дана Ван дер Варденом [808]. Деталь-
§ 3. Релятивистская инвариантность
87
ное изложение этого подхода читатель найдет в статьях Баде и Йеле [23] и
Капа [105].
Изучив трансформационные свойства спиноров Дирака при преобразованиях
Лоренца, можно теперь определить трансформационные свойства билинейных
комбинаций, построенных из этих спиноров. Так, величина Ф(;е)Ф(:е)
является скаляром, поскольку
фф = фА-1Аф = ф'ф'. (4.88)
Однако при отражениях времени эта комбинация фф преобразуется как
псевдоскаляр. Выше мы уже установили, что величина фу^ф есть вектор. Если
определить матрицу
cxbv = А. (уа-ут — yvy^) = — avA (4.89)
то тогда билинейная комбинация фц^ф преобразуется как антисимметричный
тензор 2-го ранга, а именно при преобразованиях с А“>1
ф'о^ф' = фА^ц^Аф = ЛдЛафст°вф. (4.90)
Величина фу^у^уА]) с % < ц < v преобразуется как тензор 3-го ранга,
антисимметричный по всем трем индексам, поскольку
?‘‘?а А X At
ф'уАуВу'Уф' = 2 л* Л? фу^у^-уА]). (4.91)
Q<a<t Ava Л?
Этот тензор имеет четыре отличные от нуля компоненты, которые обычно
нумеруют индексом недостающей матрицы у. Эти компоненты можно также
записать в виде фу5у^ф, где
- Y5 = Ys = jr e^voayvYvY0Ya = jf еи^У^У°Уа = yVyV (4.92)
— антиэрмитова матрица, антикоммутирующая со всеми матрицами у^ и равная
в квадрате — 1:
-ув-у5 -(- убув = 0, (4.93а)
(у5)2=— 1. (4.936)
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed