Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
предел. Это последнее свойство отсутствует у представлений с р2 < 0.
*) Этот факт более подробно обсуждается в гл. 5, § 2.
ГЛАВА 3
Уравнение Елейна-Гордона
§ 1. Исторический обзор
Когда Шредингер написал нерелятивистское уравнение, называемое теперь в
его честь, он предложил также соответствующее релятивистское уравнение.
Позднее такое же уравнение было независимо предложено Гордоном [332,
333], Фоком [260, 261], Клейном [454], Кударом [468] и Де-Дондером и Ван
Дунгеном [157]. Это уравнение можно получить из релятивистского
соотношения между энергией и импульсом для свободной частицы с массой р
Е2 = с2р2 + р2с4, (3.1)
если сделать в нем замены Е—>ihdt, р—> — ibV. В результате приходим к
уравнению
— h2 д ф^2’ ~ = (— b2c2V2 4- р2с4) ф (х, t). (3.2а)
Используя естественную систему единиц (д = с = 1) и обозначение Дирака
ф(ж) = (ж)ф), можно переписать его в виде
(? + И2) (х j ф> = 0. (3.26)
Уравнение (3.2а) стало известно как уравнение Клейна — Гордона. Волновая
функция ф (ж) является однокомпонентной скалярной функцией, которая при
неоднородных преобразованиях Лоренца х'— Ах-\-а преобразуется по закону
ф' [х’) = ф (х) (3,3а)
или
ф' (ж) = ф (А-1 (ж — а)). (3.36)
Мы будем говорить, ? что ф описывает скалярную частицу, если при
пространственном отражении х0 —ж0, х — >—х, ф-^>ф, и что ф описывает
псевдоскалярную частицу, если при пространственном отражении
Физическую интерпретацию уравнения Клейна — Гордона попытаемся дать по
аналогии с тем, как это делается в случае нерелятивистского
!) Точнее эти преобразования записываются в виде ф'(;г') = ф (ж) для
скалярной функндш и ф' (х')= —ф (ж) для псевдоскалярной (х'0 = х0, х' =—
х).— Прим. ред.
§ 2. Свойства решений уравнения Клейна — Гордона
63
уравнения.- Определим плотность вероятности g и ток вероятности^ таким
образом, чтобы они удовлетворяли уравнению неразрывности. Можно
проверить, что g и j, выбранные в виде
е=^а(Ф5*ф-5*Ф'ф) = ^(Ф5°ф-5оф-ф), (3-4)
= (Ф^ф-ддр-ф) (3.5)
с учетом уравнения (3.2а) действительно удовлетворяют уравнению
неразрывности
v-j + 3te = o.' (3.6)
Константы, вошедшие в плотность и ток, введены с таким расчетом, чтобы g
и j в нерелятивистском пределе переходили в обычные выражения
нерелятивистской теории Шредингера. Если в формуле (3.4) для g заменить
iiidtф на Ец>, то получим выражение
e = ~w (3-7)
которое при Е цс2 действительно переходит в плотность вероятности
нерелятивистской квантовой механики. Однако нужно отметить что, вообще
говоря, g может принимать как положительные, так и отрицательные
значения, так как уравнение (3.2а) содержит вторую производную но
времени, и поэтому в некоторый момент времени t0 и ф и dtq> могут быть
заданы независимо1 и произвольно. Кроме того, поскольку ф и являются
функциями пространственных координат х, то g может быть положительной в
одних областях пространства и отрицательной в других. Поэтому трудно
интерпретировать g как обычную плотность вероятности. Наличие
отрицательных значений g дискредитировало уравнение Клейна — Гордона в
течение примерно семи лет со времени его написания. И только в 1934 г.
Паули и Вайсконф реабилитировали это уравнение, дав ему новую
интерпретацию как уравнения для поля в том же смысле, как уравнениями
Максвелла описывают электромагнитное поле, и показали, как это поле можно
квантовать.
§ 2. Свойства решений уравнения Клейна—Гордона
Теперь мы покажем, что в релятивистском случае существуют такие ситуации,
когда вероятностная интерпретация все еще применима. Судя по выражению
(3.7), этого можно ожидать, когда частица свободна или когда она движется
в очень слабом внешнем поле. Для исследования этого вопроса найдем
решения уравнения Клейна — Гордона. У него имеются решения в виде плоских
волн
ф(ж) = е р х)5 (3 8)
если
ср0 = Е= ± yVp2 + [i2c4. (3.9)
Выражение (3.8) является решением при любом знаке квадратного корня. Это
следствие ковариантности уравнения по отношению ко всем преобразованиям
Лоренца, оставляющим инвариантной квадратичную форму
64
Гл.. 3. Уравнение Клейна — Гордона
— ц2с2. Ясно, что к числу таких преобразований относится и преобразование
р0—> — р0. Существование решений с отрицательной энергией не представляет
какой-либо трудности в случае свободной частицы. Если частица
первоначально находится в состоянии с положительной энергией Е=с у"р2 +
цас2, то в отсутствие каких-либо взаимодействий ее энергия всегда будет
оставаться положительной. Далее, из формулы (3.7) видно, что для частицы
с положительной энергией плотность положительна q > 0, и в силу уравнения
движения она будет оставаться положительно определенной всегда. Таким
образом, приходим к выводу, что если в качестве набора реализуемых
физических состояний свободной частицы принять многообразие решений с
положительной энергией, то можно построить последовательную теорию
свободной частицы. Для волновой функции ф (ж) с положительной энергией
можно записать уравнение движения
