Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
количества движения, помноженному на т. Это верно только при т ф 0, так
как только в этом случае можно произвести преобразование Лоренца в
систему покоя. Итак, преобразующиеся по неприводимому представлению
базисные векторы имеют 2s -f- 1 компонент, т. е. ? принимает значения ? =
1, . . ., 2s -f 1, или, иными словами, при данном векторе импульса р^ с
р2 = т? и р0 = + ф^р2 -(- т2 > О существует 2s -f 1 независимых
состояний.
Теперь определим лоренц-инвариантное скалярное произведение в векторном
пространстве как интегрирование по всем зяачени-
(2.65)
(2.66)
§ 3. Неоднородная группа Лоренца
57
ям р, удовлетворяющим условиям р2 = тп2 и ро = + У Р2 + ™2, и
суммирование по индексу ?
2s+l
(зс. ^)= 2 5 ]Г^1р. SXp, ?]Ф> =
?=1 °
2s+l
= 2 \ ?х(р, s) ^ (р, а (2.67)
5=1 “ °
где dsp/p0 — инвариантная мера на гиперболоиде р- — тп2, а сумма
2s+l_
2 х (р. ?Жр> ?) должна быть скаляром. Векторное пространство, ?
снабженное этим скалярным произведением, является гильбертовым
пространством.
Прежде чем продолжать математический анализ унитарных представлений
неоднородной группы Лоренца, остановимся на значении их для физических
приложений (см. работы Хаага [347], Вигнера [863], а также Ньютона и
Вигнера [576]). С этой целью проанализируем описание элементарной
частицы. Конечно, в вопросе о том, что такое элементарная частица,
ясности нет, и он представляет собой одну из важнейших проблем
теоретической физики сегодняшнего дня. Интуитивно же частицу с массой тп
и спином s считают элементарной, если для временных интервалов, больших
характерной для нее естественной единицы времени Ъ /тс2, она может
рассматриваться как единое целое, а не как объединение других частиц.
Естественно .потребовать неразложимость пространства состояний такой
системы на лоренц-инвариантные линейные подпространства: должна
существовать возможность получения всех состояний системы из какого-либо
одного, произвольным образом выбранного, действуя линейной комбинацией
преобразований Лоренца. Если бы имелись такие лоренц-инвариантные
подпространства, то это означало бы, что существует релятивистски
инвариантное различие между этими наборами состояний системы, а тогда
было бы логично относить различные релятивистски инвариантные
подпространства состояний к различным «элементарным системам». И вообще о
системе говорят как об «элементарной», если многообразие ее состояний
является предельно узким, линейным (чем выражается принцип суперпозиции)
и инвариантным относительно преобразований Лоренца. Следовательно,
многообразие состояний элементарной системы образует пространство, в
котором действует неприводимое представление неоднородной группы Лоренца.
Заметим, что в рамки данного определения укладываются и составные
системы, такие, как, например, атом гелия в основном состоянии, или а-
частица. Однако атом гелия в состоянии, являющемся суперпозицией двух или
более возбужденных состояний, не будет элементарной системой в указанном
выше смысле, так как в этом случае можно выделить более узкий набор
состояний, к которому применим принцип суперпозиции и который является
релятивистски инвариантным подпространством. Очевидный интерес
представляет вопрос, что следует взять в качестве оператора координаты
или в качестве других глобальных наблюдаемых элементарной системы, а
также каков их смысл. Ответ состоит в том (см. статью Ньютона и Вигнера
[576]), что наблюдаемые, соответствующие этим величинам, могут быть
найдены на основе совершенно общих принципов инвариантности. Например,
полученные этим путем наблюдаемые координат соответствуют координатам
центра масс, а наблюдаемая импульса соответствует полному импульсу
системы. Кроме того, оператор
58
Гл. 2. Группа Лоренца
импульса с точностью до вещественного множителя совпадает с генератором
смещений.
Итак, элементарная система — это система, обладающая определенными
трансформационными свойствами (ее состояния преобразуются по
неприводимому представлению неоднородной группы Лоренца) и, более
конкретно, трансформационными свойствами, которые обычно приписывают
частице. Можно считать такую систему элементарной частицей или нет,
зависит от того, полезно ли (или возможно ли) рассматривать ее как
бесструктурную, не состоящую из других частиц, или нет. Очевидно, что это
обусловлено тем, насколько малые расстояния прощупываются
экспериментально, например при рассеянии частиц с большой энергией.
Поэтому, следует ли частицу рассматривать как элементарную или как
составную, -зависит от того, насколько тесно связаны ее составные части.
Современные экспериментальные данные, в частности станфорд ские
эксперименты по рассеянию электронов на нуклонах (Хофштадтер [378]),
указывают, что даже стабильные фундаментальные частицы (электрон, протон)
не являются элементарными в указанном выше смысле бесструк-турности.
Однако они являются элементарными системами в том смысле, что состояния
любой такой изолированной частицы образуют инвариантное многообразие,
