Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
чает, что если | т|з) есть вектор, преобразующийся по представлению U, а
именно | т|з)—> [ г))') = U [ г|>), то тогда (Ч>|В*|Ч>) является
скаляром. Доказательство выглядит следующим образом:
(Ч>' | В* | -ф') = (х|> | U*B*U | xj)> = <1|>| B*U-471 \\>) = (х|) | В* |
Ч>). (2.44)
§ 3. Неоднородная группа Лоренца
53
Верно также и обратное. Очевидно, что для унитарного представления В = 1.
Мы не будем рассматривать представлений общей группы Лоренца — группы с
отражениями. Полное и простое изложение конечномерных неприводимых
представлений общей группы Лоренца можно найти у Гейне [360] (см. также
статьи Ватанабе [820, 821] и Широкова [729, 730]). Однако в
соответствующих местах мы рассмотрим трансформационные свойства
релятивистских волновых функций и операторов свободных частиц при
отражениях. Здесь же мы отметим, что перестановочные соотношения
операторов отражений Is, It, Ist с генераторами имеют вид
[/.t, Mt] = [Ita, А;]=0, (2.45а)
[It, N^ = [IU Mt\ = 0, (2.456)
[/., 7Vj]t = [/„ М4] = 0. (2.45в)
В заключение этого параграфа мы укажем совокупность векторов,
на которые натягивается неприводимое представление ортохронной группы
Лоренца. (Эта группа является несобственной, так как содержит А с detA= —
1.) Она получается, если к элементам ограниченной группы присоединить
операцию пространственного отражения. Из перестановочных соотношений
(2.45в) следует
/5К = 31 s, (2.46а)
Is3 = К Is, (2.466)
I
так что базисные векторы | jm) j'm') с /+/', преобразующиеся при
ограниченных преобразованиях Лоренца по представлению П(5’3 \ не
преобразуются друг через друга при операции Is.
Действительно, на основании (2.46)
Js(Is\jm; ]"т’)) = т' (Is\jm\ j'm')), (2.47)
и, следовательно, вектор Is\jm; j'm') ведет себя, как базисный вектор Я.
| j'm'] jm), где Я — постоянная, зависящая от /, /', т, т'. Векторы |/,
т; j',m') и Is\j, т) /', т’) при ограниченных преобразованиях Лоренца
преобразуются по различным неприводимым [представлениям и,
следовательно, ортогональны друг другу. Поэтому [для
получения
векторного пространства, инвариантного относительно несобственной
ортохронной группы, необходимо воспользоваться объединенной совокупностью
2(2/+1) (2/'+ 1) линейно независимых векторов \jm;j'm') и |/'яг'; jm).
Таким образом, можно ожидать, что векторное пространство V33 0 V3 3 будет
неприводимым векторным пространством для представления несобственной
ортохронной группы. Это действительно так, когда / Ф /'.
§ 3. Неоднородная группа Лоренца
Неоднородные преобразования Лоренца L = {а, А} определяются
согласно
s^, = (Lx)ll = Alxv + all, (2.48)
т. е. как произведение операций сдвига на вещественный вектор <+
и однородного преобразования Лоренца А, причем сдвиг выполняется после
однородного преобразования Лоренца. Неоднородное преобразова-
54
Гл. 2. Группа Лоренца
нйе удобно записывать в матричной форме
fA°0 л; к Л“ а°\ /ж°\
л; к а1 Лз а1 Xх
л2 ‘il0 к к К а2 X2
Л* к Л2 л3 ik3 а3 Xs
10 0 0 0 1/ и;
{х'°\ .'1
(2.49)
где последняя координата 1 не имеет физического смысла и остается
инвариантной при преобразовании. Произведение двух неоднородных
преобразований Лоренца {а1; Л4} и {а2, Л2] равно
Л4){а2, Л2) = {а1 + Л1а2, Л4Л2].
(2.50)
Неоднородные преобразования Лоренца образуют 10-параметрическую
непрерывную группу. Генераторами сдвигов являются эрмитовы операторы р^,
а их перестановочные соотношения с эрмитовыми генераторами*) «вращений»
М= — MV]L в плоскости x^-xv суть
Ра] = i (gvaPii' SfxaPv)- (2-51)
Перестановочные соотношения этих генераторов между собой имеют вид
[/V, Pv]= 0, (2.52)
[4TfiV, Мqct] = i (§noMva — SvqMixo 4" g\xaMqV gYo-Mp^). (2.53)
Проблема классификации всех неприводимых унитарных представлений
неоднородной группы Лоренца (см. статьи Вигнера [857], Баргманна и
Вигнера [31] и Широкова [726, 727]) снова может быть сформулирована как
проблема нахождения всех представлений перестановочных соотношений
(2.51)—(2.53) с помощью самосопряженных операторов. Прежде всего надо
найти все инварианты группы. Очевидно, что инвариантами группы могут быть
только скалярные операторы, и таким образом мы приходим к задаче
построения скалярных величин, коммутирующих с рц и МОпределим следующие
величины:
РцМуО -j- pvMqц -j- PqM|^v — MVQp^ -[- MQ^Pv + M^Pv
и псевдовектор
такой, что
w2, w*)~(v321,
r, 230
,,310
’’*120
).
или в трехмерных векторных ооозначениях
w° = р - М, w = р0М— [р X N].
Заметим, что
wapa=0.
(2.54)
(2.55)
(2.56)
(2.57а)
(2.576)
(2.58)
х) Мы сделали генераторы эрмитовыми, добавив в прежние определения
множитель — г.
§ 3. Неоднородная группа Лоренца
Перестановочные соотношения для имеют вид
[М^, ayQ] = i — gno^v),
[аУц> Pv] =0.
[w^, ayv] = i^nvQoW°Pa-
(2.59)
(2.60) (2.61)
Теперь можно проверить, что скалярные операторы
Р = Р^Рц
(2.62)
II
М^М^'РоР0 - МцЖ VPv ' (2.63)
коммутируют со всеми генераторами М^х и рй. Поэтому в каждом неприводимом
представлении неоднородной группы Лоренца они кратны единичному
