Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
собственных значений в этом случае. По этому поводу читатель отсылается к
статьям Фока [265] и Баргманна [29].
ГЛАВА 2
Труппа Лоренца
§ 1. Релятивистские обозначения
Кратко остановимся на релятивистских обозначениях, которые будут
использованы в книге.
Пространственно-временнйе координаты будут обозначаться х^ (4-век-тор
также будет обозначаться светлой буквой х), причем x° = ct, х1~х, х2 = у
и ?3 = z; х = {х°, х}. Мы будем использовать метрический тензор gliv с
компонентами
В связи с этим нужно различать ковариантные и контравариантные векторы.
Контравариантный вектор (преобразующийся как координатный вектор хр)
будет обозначаться vа ковариантный (преобразующийся как градиент) будет
обозначаться vм,. Аналогичные обозначения будут приняты и для Тензоров.
Греческие индексы будут применяться для обозначения компонент (О, 1, 2,
3) пространственно-временного тензора, а латинские индексы — только для
обозначения пространственных компонент (1, 2, 3). Операции опускания и
поднимания индексов с помощью метрического тензора определяются следующим
образом:
где предполагается суммирование от 0 до 3 по повторяющимся греческим
индексам, т. е.
где бд —символ Кронекера: 6^ = 1, если p. = v, и 6!J = 0 в противном
случае. Фактически же = gliv- Отметим, что операции опускания и
поднимания индексов 4-вектора изменяют знак его пространственных
компонент, но оставляют неизменной временную. Лоренц-инвариантное
goo = — gll g22--------------------------------g33-------bit
(2.1)
gnv = 0 при [X=^V.
»H = gnvVV, и^= g^vVv,
(2.2a)
(2.26)
g[ivVV — 2 ?nvPV-
(2.3)
. (2.4)
40
Гл. 2. Группа Лоренца
скалярное произведение двух векторов и х^ определяется согласно-
Вектор v называется времени-подобным, если и-и=и2>0, пространственно-
подобным, если о2 < 0, и изотропным вектором, если и2 = Ох).
Релятивистское соотношение между энергией и импульсом свободной частицы
?2 = р2с2 +/и2с4 при помощи времени-подобного 4-вектора
энергии и импульса частицы р — записывается в виде р2 —
т2с2.
Операторные соотношения E-*-i%dt, р-»- — iRV могут быть теперь записаны в
виде
В этой связи следует отметить, что вследствие контравариантности яя
вектор д/дх^ = д11 ковариантен, причем
Оператор волнового уравнения, или, как его часто называют, оператор
Даламбера
может быть записан также в виде ? = g^d^dv = д^д^.
Нам часто придется использовать разрывные функции 0 (а) и е (а), которые
определяются согласно
Наконец, мы почти всегда будем применять естественную систему единиц, в
которой скорость света с и поделенная на 2я постоянная Планка R
полагаются равными единице: R = c = 1. В этой системе единиц энергия,
масса, обратная длина и обратное время имеют одну и ту же размерность.
§ 2. Однородная группа Лоренца
В этом параграфе мы кратко напомним некоторые факты относительно
однородных преобразований Лоренца. Если две системы отсчета движутся друг
относительно друга в направлении оси х1, то связь между
g^PiiXv = p^xv- = р-х = Х(,р0—х-р = х°р° — х • р.
(2.5>
(2.6)
(2.7а)
и
(2.76)
(2.8)
е(а)=+1 при а > О, = — 1 при а < О,
(2.9а)
0(а) = у (1 + е(а))= 1 при а > О,
(2.96)
= 0 при а < 0.
4) Отметим, что под v2 мы понимаем v2.
§ 2. Однородная группа Лоренца
47
ними выражает преобразование Лоренца
х'о = у (х° — Ра;1) = х° ch и — х1 sh и, х'1 = -у (а;1 — Ра;0) = х1 ch и
— х° sh и, х'2 — х2, х'в = а:3,
где
Y = (1 — Р2)~1/2, P = -f, (2.11а)
thw = P, (2.116)
a \v — относительная скорость двух систем отсчета. Это преобразование
Лоренца оставляет инвариантной квадратичную форму х2. Заметим также, что
в момент времени а;0 = 0 начала обеих систем координат совпадают.
Наиболее общим однородным преобразованием Лоренца, связывающим две
системы координат, является любое линейное преобразование
z'n = A!fcv (2.12)
(в матричном виде х' = Ах), которое оставляет инвариантной квадратичную
форму х^х^, т. е. такое, при котором х2 = х'2. Все коэффициенты
преобразования AIJ вещественны. Из требования инвариантности квадратичной
формы х2 следует, что
А1АЧ = А^А^ = Ы (2.13а)
Это условие можно записать в виде
Av^hqAo = gva (2.136)
или, в матричной форме,
A TgA = g, (2.13в)
где индексом Т отмечена транспонированная матрица. Из этого условия
следует, что detA= ± 1 и что, следовательно, для каждого преобразования
Лоренца существует обратное преобразование. Так как произведение двух
преобразований Лоренца снова является преобразованием Лоренца, то
совокупность всех преобразований Лоренца образует группу х).
Группа преобразований Лоренца содержит подгруппу, изоморфную трехмерной
ортогональной группе. Эта подгруппа состоит из всех матриц Aji вида
A(fi) = (J°), '(2.14)
где R — матрица размерности 3x3 со свойством RRT = RTR = 1. Такие матрицы
А мы будем называть пространственными ' ортогональными преобразованиями.
Любое однородное преобразование Лоренца может быть разложено следующим
образом:
А = А(Д2)Л(/1)Л(Д1). (2-15).
где Л (i?j) и Л (R2) — пространственные ортогональные преобразования, а Л
