Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
j
т. е. преобразованная величина и первоначальная величина имеют одно
и то же (численное) значение в физически одной и той же точке. Ана-
логично, векторная функция ?; (х) преобразуется при вращении х—>х' = = Их
по закону
?г(х)—>?i(x') = rift?ft(x), (1.134а)
или эквивалентно
?' (х) = (R) % (R-'x) = Rl (R-'x), (1.1346)
l'i(x) = riklk(R'1x). (1.134в)
Для нерелятивистской квантовой механики значение этих представлений
состоит в том, что они позволяют включить в общую схему описание спина
(собственного момента количества движения) частицы, если предположить,
что такая частица со спином должна описываться многокомпонентной волновой
функцией, преобразующейся при вращениях по неприводимому представлению
трехмерной группы вращений. Бесспино-вую частицу описывают волновой
функцией, которая при вращениях преобразуется, как скаляр. •
Нерелятивистская частица со спином 1/2 со своими двумя степенями свободы
— спин вверх и спин вниз-— описывается спинорной волновой функцией, а в
общем случае частица со спином s описывается 2s + 1-компонентной волновой
функцией. Остановимся более подробно на частном случае частицы со спином
1/2, когда волновая функция ф(х) есть двухкомпонентный спинор:
(1.135)
40
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
В векторном пространстве возможных состояний этой системы можно ввести
следующее скалярное произведение:
2 2
(?ф. Х)=2 5 ^3;с(Ф|хО(хг|Х)= ^ § d3x ф?(х)Хг(х). (1.136)
г-1 i—\
При вращении х'— Rx волновая функция (xi | ф) = ф* (х) преобразуется по
закону
ф' (х') = (R) ф (х) (1.137а)
или
Ijj' (х) = у(1/я> (Д) 1|J (1.1376)
Определим линейный оператор U (R), действующий в гильбертовом про-
странстве, согласно
(xi I U (R) I ф) = У Т\]/2) (R) ф, (Д-»х), (1.138а)
j~ 1
или эквивалентно
| Ф') = U (R) | if). (1.1386)
Это соотношение можно рассматривать как связь между двумя векторами
состояния, которые приписывают системе два наблюдателя, находящиеся в
таких разных системах отсчета, что соответствующие координаты х и х'
связаны соотношением х' = Rx. Если наблюдатели эквивалентны, а теория
предполагается инвариантной относительно вращений, то в соответствии с
тем, что говорилось раньше, операторы U (R) будут унитарными. Фактически
они образуют определенное с точностью до множителя унитарное
представление группы вращений в гильбертовом пространстве состояний со
скалярным произведением, определенным согласно (1.136). При бесконечно
малых поворотах на угол е вокруг
l-ш оси
(R(B)x)j = Xj + esiJhxh, (1.139а)
(R-1 (е) x)j = Xj — EEijhxh (1.1396)
оператор U может быть записан следующим образом:
U =1 —eDi, (1.140)
где оператор Di, действующий в гильбертовом пространстве, является
самосопряженным и поэтому соответствует некоторой наблюдаемой величине
физической системы. Найдем теперь явный вид генераторов Dt в
конфигурационном пространстве. С помощью (1.1376), (1.138а), (1.139а) и
(1396) получаем
ф'(^)= (1-х8^г(х))ф(;гг) (1.141а)
= j iEai^(Xj — EEiJAxA), (1.1416)
где 3)i (х) — матрица, матричные элементы которой 3)itij(x) определяются
правой частью равенства:
(xi | Di | xj) = 6<3) (x — x') <55/, ij (x). (1.142)
§ 6. Четырех мерная группа вращений
41
Раскладывая правую часть (1.1416) в ряд Тэйлора по е вблизи е = 0 и
удерживая только члены первого порядка по е, находим
?ф'(*/)= [l—is Q&ijhXh °*) + ° (g2)] (1-143)
Таким образом, для генератора получаем выражение
(х)= "Ь iheijhxh + ~2 °г' (1.144)
Тем самым определена l-я компонента оператора полного момента количества
движения частицы. Следовательно, частица, помимо орбитального момента
количества движения [г X р]i= — ihzihjXhdj-, обладает еще
и (собственным) моментом количества движения у а.
Некоторые из методов, развитых для группы вращений, легко могут быть
применены для рассмотрения группы пространственных сдвигов
= xt + Hj. (1.145)
Вследствие коммутативности этой [группы все ее неприводимые унитарные
представления являются одномерными, и если мы запишем
|ф') = U (а) 11(з), (1.146)
то
U (а) = e-ia P, (1.147)
I
где р—оператор импульса. В явном виде ф'(х) = (х|ф') = ^ d3y (х ] 17
(а) | у) (у | ф) = е_а"v ф (х) = ф (х — а), (1.148)
как и следовало ожидать. Таким образом, оператор импульса pi
является
генератором сдвигов в направлении Z-й оси. Мы уже установили выше, что
гамильтониан является генератором временнйх сдвигов.
Классификацию представлений неоднородной группы вращений, т. е. группы,
оставляющей инвариантной квадратичную форму (х — у)2 (преобразования х—-
>х' = Кх-)-а, состоящие из сдвигов и вращений), читатель найдет в лекциях
Паули [633].
§ 6. Четырехмерная группа вращений
Недавно были высказаны предположения, что некоторые свойства симметрии,
обнаруживаемые странными частицами,' могут быть поняты в рамках
систематики, в которой этим частицам приписываются некоторые внутренние
степени свободы, а соответствующее «внутреннее пространство»
предполагается четырехдоерным евклидовым. В связи с этим важно знать
