Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(li) — преобразование Лоренца'вдоль оси х1.
(2.10)
0 Эту группу, т. е. группу преобразований, ограниченных условием (2.13),
называют общей группой Лоренца (см. [891], стр. 165, и [907], стр. 26). —
Прим. ред.
48
Гл. 2. Группа Лоренца
Если в (2.136) положить a = v = 0, то получим
з
(Л°0)2 = 1 + 2 (Л‘)а>1,
(2.16)
i=l
так что Л“>1 или Л“< — 1. Преобразования Лоренца, для которых Л®>1,
называются ортохронными преобразованиями Лоренца. Преобразование Лоренца
ортохронно тогда и только тогда, если оно преобразует каждый
положительный времени-подобный вектор*) снова в положительный времени-
подобный. Совокупность всех ортохронных преобразований Лоренца образует
группу — ортохронную 2) группу Лоренца. Совокупность всех матриц Л может
быть разбита на 4 компоненты3) в соответствии с тем, будет ли det Л равен
+1 или —1, а Л® больше
4-1 или меньше — 1. Совокупность матриц с det Л=+1иЛ“>1 образует группу
ограниченных однородных преобразований Лоренца. Ограниченная однородная
группа Лоренца является 6-параметрической непрерывной группой. Другие
компоненты можно получить из ограниченной группы Лоренца следующими тремя
преобразованиями:
1) пространственным отражением: х0—>х0, х—>— х
Компоненты не образуют связного целого и не могут быть^соединены друг с
другом непрерывным образом.
Как и в случае группы вращений, мы легко находим вид генераторов для
преобразований Лоренца. При бесконечно малом преобразовании Лоренца
г) Времени-подобный вектор {х0, х} называется положительным, если хо^>0,
и отрицательным, если х0 < 0 (см. книгу Наймарка [907], стр. 27). —Прим.
ред.'
2) Иногда эту группу называют полной группой Лоренца (см. [907], стр.
27 и [891], стр. 172).—Прим. ред.
3) Этим термином, взятым из работы [891], стр. 172, мы переводим
термин автора «subsets». —Прим. ред.
(2.17)
2) временным отражением: х0—>- — хй, х—
(2.18)
3) пространственно-временным отражением: х—— х
/-1
Л (ist) — Л (is) Л (if) —
-1
-1
(2.19)
\
1
Лу = ЭД + еА?
условия (2.13а) и (2.13в) накладывают ограничение
(2.21)
(2.20)
§ 2. Однородная группа Лоренца
49
которое является необходимым и достаточным условием, чтобы генератор ЯЛ'*
соответствовал бесконечно малому преобразованию Лоренца. Таким образом,
бесконечно малым преобразованием, обратным к AMV, является АТ
Явное матричное представление ограниченного однородного преобразования
Лоренца вдоль оси х1 (вращение в плоскости хйх1) дает матрица
chit —shit 0 0\
. г , , — shit- chit 0 0 1
Л (10, it) = j 0 0 1 о Г (2.22)
0 0 0 1/
Генератор ЯК10 для этого вращения определяется согласно
и имеет вид
ЯЛ10:
_ d du Л (10, It) 1 |u =0
0 -1 0 O'
-1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(2.23а)
(2.236)
Аналогично, генераторы ЯЛ20 и ЯЛ30 для вращений в плоскостях «20» и «30»
имеют вид
ЯЛ20 =
0 0 -1 °\ ( 0 0 0 -1
0 0 0 0 CO о II 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0/ V-i 0 0 0
(2.24)
Генераторами вращений в плоскостях х1х1, т. е. генераторами про
странственных вращений, являются
'0 0 0 0N
0
0
ч0
ЯЛ12
0
0
0
0
(2.25)
ЯЛ23 = |
о
О -
о о
Мы определяем ЯЛ^ = — ЯЛ^. Произвольное бесконечно малое преобразование
Лоренца может быть теперь записано в виде
Л(ш) = 1 + ^со^’ЯЛ^, (2.26)
где a>*AV = — covk. Конечные вращения в плоскости х^ху снова выражаются в
виде экспоненты
A(pv; it):
(2.27)
Г ТТТ no Rn п
50
Гл. 2. Группа Лоренца
Можно проверить, что генераторы удовлетворяют следующим пере-
становочным соотношениям:
[2Вц„, Жра] = ^pSSKva + ?гаЖ№ ~ - gvр!и, (2.28)
Таким образом, если все четыре индекса p,vgcr различны, то матрицы
коммутируют. G другой стороны, если у обеих матриц один индекс общий,
скажем сг = ц и по нему подразумевается суммирование, то правая часть
пропорциональна матрице с оставшимися индексами 3Jlpv.
Пусть D (Л)—какое-либо представление ограниченной группы Лоренца.
Генераторы этого представления обозначим через Tfpv. Если Л имеет вид
(2.26), то
?>(*») = I (2.29)
Так как M^v образуют представление генераторов алгебры Ли, то они
удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и
3Jlpv>
а именно:
Т/ри] = g\xpMyo gvoM^p—gvpM^Q g^aMVp. (2.30)
Проблема нахождения представлений ограниченной группы Лоренца
эквивалентна проблеме нахождения всех представлений перестановочных
соотношении (2.30). В дальнейшем будут использоваться следующие
важные свойства представлений ограниченной однородной группы Лоренца (см.
Ван дер Варден [809], Баргманн [30], Наймарк [570]). Эта группа имеет
конечномерные и бесконечномерные неприводимые представления. Однако
единственным конечномерным унитарным представлением является тривиальное
одномерное представление Л—>1. Неприводимые конечномерные представления
ограниченной группы могут быть перенумерованы двумя дискретными
индексами, которые могут принимать положительные целые, полуцелые и
нулевое значения. В этом можно убедиться следующим образом. Определим
операторы
M = (MS2, М13, Ми), (2.31)
[N = (M01, М02,М03). (2.32)
Они обладают перестановочными соотношениями
