Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
[Mi, Mj] = sijhMh, (2.33а)
[Nt,Nj] = -BijhMh, • (2.336)
[M„Nj] = eUhNh. (2.33b)
Из этих операторов можно построить операторы Mz — N2 = г/2 M^VM^V и V4
E^^MpvMpo = — М-N1), коммутирующие со всеми генераторами Mt и N г-
Следовательно, они являются инвариантами группы и кратны единичному
оператору в любом неприводимом представлении. Таким образом,
представления могут быть перенумерованы значениями этих операторов в
данном представлении. Чтобы сделать область изменения
Ч e,ivp0 — полностью антисимметричный тензор четвертого ранга, компоненты
которого равны -f-1, если индексы (xvqct образуют четную перестановку
чисел 012 3, равны —1, если pvpa—печетпая перестановка 0 1 2 3, и равны
нулю, если хотя бы два из индексов p,vpa совпадают.
§ 2. Однородная группа Лоренца
51
этих значений более очевидной, введем операторы
Jl~^i(Ml + iNl) (2.34)
И
Л'г = ~1(Мг-1ЛМ, (2-35)
которые удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
\Jki Jl\ — i&klmJmi (2.36)
[Kl,Km] = ielmnKn, • (2.37)
[Ji,Km\= 0. (2.38)
Из этих перестановочных соотношений вытекает, что пространство
неприводимого конечномерного представления V31 может быть натянуто на
совокупность (2/+1) (2/'+1) базисных векторов \]’т; j'm'); где /, т, т' —
целые или полуцелые числа, —
В терминах этих чисел операторы J и К имеют следующие представления:
/± |/, m] f, m') = (Jl ± iJ2) | /, т\ т') =
= VU ж т) U ± т + 1) ]/> m±i\ ш')
Л|У, У', m') = m\ j, т\ ]',т') (2.39)
и
Я±|У, ш; у', т') = (Х1 ± i^2)jy, m; тге') =
= V(j' =F m')(f ± m' + l) |y, m; j', m’ ± 1)
K31 /, m\ ]", m’) = m'\j, m\ m'). (2.40)
Теперь в этом представлении легко получить матрицу ?)ОЛ(Л),
представляющую любое частное преобразование Лоренца. Следует подчеркнуть,
что, вообще говоря, она не. будет унитарной.' Все полученные
представления конечномерны. В общем же случае неприводимые представления
ограниченной группы Лоренца могут быть характеризованы парой индексов
(/0, v), где /0 — целое или иолуцелое положительное число, a v —
комплексное число. Если v2 = (/0-)-тг)2, где п — целое, то представление
будет конечномерным. Если же v2 Ф (j0 + n)2 ни при каком целом п, то
тогда представление будет бесконечномерным. С точки зрения физических
приложений нас интересует классификация величин с конечным числом
.компонент, преобразующихся по конечномерному представлению группы
Лоренца. Поэтому мы будем иметь дело с конечномерными представлениями.
Однако унитарные бесконечномерные неприводимые представления имеют
отношение к классификации неприводимых унитарных представлений
неоднородной группы Лоренца (см. § 3). Читатель, интересующийся единым
выводом всех неприводимых представлений ограниченной группы Лоренца,
отсылается к хорошо написанной обзорной статье Наймарка [570].
Резюмируя, можно сказать, что ограниченная однородная группа Лоренца
имеет бесконечное счетное мнвжество неэквивалентных конечномерных (и в
общем случае' неунитарных) неприводимых представлений. Они могут быть
перенумерованы двумя неотрицательными индексами (/>/)'> /> У' = 0, V2, 1,
3/2, ... . Размерность представления равна (2/-f 1) (2/' + 1).
Представление ZE5 з') однозначно, если / + /' — целое,
4*
52
Гл. 2. Группа Лоренца
и двузначно, если нет. В неприводимом представлении инвариант V2 (М2—N2)
равен единичной матрице размерностью (2/+ 1) (2/' + 1), помноженной на —
{/(/+1)+ /'(/'+ 1)}. Второй инвариант также равен единичной матрице, но
помноженной на г {/ (/+ 1) — /' (/' + 1)}- Базисные
/ п т \
векторы, на которые натянуты пространства представлений 2 ’ 2 '
/ т п \
и D 2 ’ 2 , могут быть выбраны так, что матрицы, реализующие
in т \
D 2 2 будут комплексно сопряжены с матрицами, реализующими
(171 П \
^ ~Т ’ т/в
Величину, преобразующуюся по представлению Z)(°> °>, называют Скаляром, а
четырехкомпонентную величину, преобразующуюся по ?)(V2, Vs), —4-вектором.
По представлению (V2> 0) "преобразуется двухкомпонентный спинор, а
величина, которая преобразуется по представлению (0, 1/2), называется
сопряженным спинором. Явная матричная реализация генераторов в
представлениях В(0> 1/2> и ДО/г, 0) может быть дана при помощи матриц
Паули
м(1/2, 0) = i_ia^ м.(0, х/а) = _1_ (2.41а)
0) = ^ ст^(о, 1/2) = _ ^ ст(2.41б)
Ясно, что эти представления не эквивалентны, так как не существует 2x2
матрицы, которая бы антикоммутировала со всеми сгг. Двухкомпо-нентный
спинор ? при пространственных поворотах преобразуется как спинор
трехмерной группы вращений. Например, при бесконечно малом повороте
вокруг l-й оси
S = g' = (l-f^-ie<x,)?. (2.42)
При бесконечно малом преобразовании Лоренца вдоль i-й оси этот спинор
преобразуется по закону
= + ’ (2.43)
Заметим, однако, что величина не есть скаляр. Это — следствие
неунитарности представления °). С другой стороны, если — спинор,
преобразующийся по В(0; 3'2>, то можно проверить, что есть
скаляр. В общем случае, если представления U и U*~l эквивалентны, то
существует матрица В, такая, что U — Это в свою очередь озна-
