Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 35

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 373 >> Следующая

ihdt(f(x) — y^(^^b2c2V2(f(x). (3.10)
Если определить трехмерный образ Фурье функции ф (ж) согласно
ф (ж) = \ d3fceik‘xX (к, х0), (3-11)
то квадратному корню в (3.10) можно придать следующий смысл:
угц2с2 —A2V2 ф (ж) = ^ d3fceikxl/jx2c2-[-?i2k2 х (к, ж0). (3-12)
Отметим, что функция % (к, ж0) удовлетворяет уравнению
ibd0Х(к, х0) = Ш (к) X (к, х0),
со(к) = с|/^+к2. (3.13)
Множество решений с положительной энергией образует неприводимое
инвариантное подпространство, поскольку любое такое решение может быть
представлено в виде
<Р<гс)==ё~^ S dike~ik'(*а —^2)0(*о)Ф(А;), (3.14)
где для удобства введены некоторые численные множители и положено Я = с =
1. Функция б (А:2 — ц2) обеспечивает, что ф(ж) является решением
уравнения Клейна — Гордона, а функция Хевисайда 0 (к0) гарантирует, что в
нем присутствуют только положительные частоты к0 > 0. Формула
(3.14) может быть несколько упрощена, если выполнить, интегрирование
с помощью соотношения
б (к2 - ц2) = {б (*э — со (к)) + б (к0 + со (к))}, (3.15)
где со (к) =- У к2 + ц2. Функция 0 (к0) оставляет в (3.14) только вклад
от первого члена, и мы получаем
I <*•**>
где в правой части к0 — со (к) = У к2 + ц2, так что Ф (к) в
действительности является функцией только к1, к2, /с3. Поэтому мы будем
писать
§ 2. Свойства решений уравнения Клейна— Гордона
65
ф = ф(к). Совокупность решений с положительной энергией образует линейное
векторное пространство, которое может быть превращено в гильбертово
пространство, если определить подходящее скалярное произведение. Мы
определим скалярное произведение двух положительно-частотных волновых
функций Клейна — Гордона согласно
(ф,ф)( = 1 ^ d3x (ф (ж) 50ф (ж) — д0ф(ж)-ф (х)) (3.17а)
t
= i ^ d3xy(x) д0ф(ж). (3.176)
t
Отметим, что хотя скалярное произведение (3.17а) и содержит производные
по времени, но если функции ф и ф подчиняются уравнению (3.10), то
скалярное произведение можно выразить через ф и ф, определенные только в
один момент времени t, как это имеет место в обычной нерелятивистской
квантовой механике:
(ф, ф)( = ^ d3x {ф (ж) l/p,2 — V2 ф (х) -\-Уц2 — V2 ф (ж)-ф (х)}. (3.17в)
Это скалярное произведение сохраняется во времени, при условии, что ф и ф
подчиняются уравнению Клейна — Гордона. Далее, оно обладает всеми
свойствами, которые должно иметь скалярное произведение:
(ф, ф) = (ф, ф), (3.18а)
(Ф1 + Ф2, Ф)е=(ф1, Ф) + (фг, Ф), (3.186)
(ф, ф) >0. (3.18в)
Знак равенства в (3.18в) осуществляется только когда ф = 0. Положи-
тельная определенность (ф, ф) при ф Ф 0 становится очевидной после
перехода в импульсное пространство, где скалярное произведение принимает
очень простой вид
(ф, Ф)= ^?(к)Ф(к). (3.19)
+
Здесь снова к0 = -fco(k). Выражение (3.19) делает также очевидной
релятивистскую инвариантность, так как I и Ф, определенные согласно
(3.14), — скалярные функции [с учетом того, что б(/с2—ц2), 0(/со), к-х-и
d4k инвариантны], a d3k/k0 — элемент инвариантной меры на гиперболоиде к2
= ц2. ,
В определении скалярного произведения (3.17) интеграл берется по всему
пространству в момент времени ct = х0. Это скалярное произведение можно
обобщить, представив интегралом по пространственно-подобной поверхности.
Такая запись делает явной релятивистскую инвариантность скалярного
произведения прямо в конфигурационном пространстве. Пространственно-
подобная поверхность сг определяется тем условием, чтобы на ней не было
точек, которые можно было бы связать световым сигналом: интервал (х — у)2
между любыми двумя точками ж и у на сг всегда пространственно-подобен, т.
е. (ж — у)2 < 0. Если обозначить через г№ (х) единичный вектор нормали
ков точке х, то. тогда п^(х)п^ (х) — -f i во всех точках х
пространственно-подобной поверхности о. Плоскость t = const является
частным случаем, когда во всех точках х пУ (ж) = (1, 0, 0, 0).
Псевдовекторный элемент поверхности do^ (ж) = пУ (ж) da 5 С. Швебср
66
Гл. 3. Уравнение Клейна — Гордона
для произвольной трехмерной поверхности S в пространстве-времени обладает
компонентами doK = {dx1 dx2 dx3, dx° dx2 dx3, dx°dx1dx3, dx°dx1dx2}.
Теорему Гаусса для четырехмерного пространства можно записать в виде
где S — поверхность, ограничивающая объем V. Если G — G(o) есть функция
пространственно-подобной поверхности о, то инвариантная операция 6/6а(х)
определяется
где а' — пространственно-подобная поверхность, отличающаяся от а на
бесконечно малую деформацию в окрестности пространственно-временной
точки х, a Q (х) — четырехмерный объем, заключенный между о и о' (фиг.
1), который в пределе сжимается в точку х. Для частного случая
G(p)= \ Fц (ж') do*1 (ж') имеем
В числителе, являющемся интегралом по поверхности, ограничивающей Q.(x),
можно применить теорему Гаусса (3.20), так что в пределе объема Q,
сжимающегося в точку х, получаем
Теперь перепишем скалярное произведение (3.17) в инвариантном виде:
Ясно, что это выражение в случае плоской поверхности i = const сводится к
(3.17). То, что скалярное произведение является сохраняющейся во времени
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed