Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
величиной, можно теперь проверить, показав, что скалярное произведение
(3.24) в действительности не зависит от поверхности о, если ф и X
удовлетворяют уравнению Клейна —Гордона.
^ d*x dv-F^ (х) = ^ do^ (х) F^ (х),
(3.20)
v
S
С(а')-С(а) Q (х)
(3.21)
(пмпи>0)
1. , г , странственно-
врежнндй объем 12 временная точна л
Фиг. 1.
а
( F^da^— J F^da»
(3.22)
(3.23)
(ф, Х)а = i ^ daK- (х) {ф (х) дд (х) — д^ф (ж) -X (ж)}
а
(3.24)
О
§ 2. Свойства решений уравнения Клейна — Гордона
67
Доказательство-.
Х)0 = ^{ф(я) (®)-0цф(а:).Х(*)}=1
= i {ф (х) (? + Ц2) X (ж) — (? + р2) ф (ж)-Х-(ж)} =
= 0. (3.25)
Таким образом, скалярное произведение не зависит от частного вида
пространственно-подобной поверхности а, выбранной для его вычисления, при
условии, что ф и X —решения уравнения Клейна — Гордона. В частности, мы
можем выбрать поверхность t = const, и тогда (3.24) сведется к (3.17). Из
(3.25) также следует, что (ф, X), = (ф, Х),0. Волновая функция Клейна —
Гордона при преобразованиях собственной группы Лоренца преобразуется как
скаляр, и поэтому j и р, определенные согласно (3.4) и (3.5), являются
компонентами 4-вектора /Ц = {р, j}.
Норма волновой функции есть квадратный корень из ^ da^j^ и поэтому
инвариантна.
Нужно отметить, что скалярное произведение (3.17) или (3.24) определено
только для решений уравнения Клейна — Гордона, имеющих вид волновых
пакетов, т. е. для ф таких, что (ф, ф) < оо, и только такие векторы
составляют гильбертово пространство. Решение в виде плоской волны есть
предельный случай волнового пакета и не является элементом гильбертова
пространства. Однако для таких решений, принадлежащих непрерывному
спектру, можно принять следующее инвариантное условие нормировки:
(Фр. Фр') = Л>бС)(р-р')- (3.26)
При такой нормировке решение в виде плоской волны с импульсом р и с
положительной энергией запишется
<3'27а)
где
Го = Ур2 + Р2. (3.276)
Соотношение полноты для этих решений имеет вид
2Ф»МФр<*'>“2(55? S Т* (3.28)
Р
и нужно отметить, что даже при ж0=а;'0 правая часть (3.28) не сводится к
б-функции.
Гильбертово пространство gfBKG положительно-частотных решений уравнения
Клейна — Гордона образует пространство, в котором действует неприводимое
представление неоднородной группы Лоренца. Это представление реализуется
при помощи следующего выбора явного вида генераторов:
Рч = Рц, ? (3.29а)
MliV = i — • (3.296)
Можно проверить, что правые части (3.29а) и (3.296) действительно
удовлетворяют перестановочным соотношениям (2.51) — (2.53). При соб-
т8
Гл. 3. Уравнение Клейна — Гордона
ственном неоднородном преобразовании Лоренца ж'= Лх-(-а состояние системы
| ф) преобразуется по закону
(jiu-0) (л; а)|ф)=|ф'). (3.30)
Операторы U^’ 0) образуют неприводимое унитарное представление
неоднородной группы Лоренца, соответствующее массе р. и спину 0 и
действующее в гильбертовом пространстве 3@ка. В более явном виде
(Ж| ?/(в> °)(А, а) | ф) = (х | ф') = (Л-1 (х — а) | ф), (3.31а)
откуда для волновых функций получается закон преобразования
ф' (х) = ф(Л~1(ж — а)), (3.316)
и в импульсном пространстве
ф' (k) = eik'a(f (Л_1/с). (3.32)
Свойство унитарности СЛ^’0>(Л, а) демонстрируется выкладкой
(t/ф, Uу) = J ^ eikay (А-'к) (3.33а)
= $ **1ф(Л')х(Л') (3.336)
= (ф, х). (З.ЗЗв)
где при переходе от (3.33а) к (3.336) мы явно воспользовались
инвариантностью элемента меры dQ (к) = ^ = dQ (Л_1й;).
§ 3. Оператор координаты
Тот факт, что многообразие реализуемых состояний содержит только решения
с положительной энергией, для которых скалярное произведение определено
согласно (3.17) или (3.19), имеет несколько важных следствий, касающихся
операторов, представляющих физические наблюдаемые. Так, при скалярном
произведении (3.17) оператор x = iVp не эрмитов, так как
(Ч>, «Ф) = | 5^Ф(Р)Т,ф(р) (3.34а)
= Ш(-^+т?Ы,р(1,)]ф<‘’> <3'34б>
Ф (хф, ф), (3.34в)
где при переходе от (3.34а) к (3.346) был отброшен интеграл по
поверхности. Следовательно, оператор х не может быть истолкован
как оператор координаты, так как он не самосопряжен и поэтому
не соответ-
ствует какой-либо измеримой величине для данной системы. Отсюда следует,
что волновая функция ф(ж) Клейна—Гордона не может рассматриваться как
амплитуда вероятности найти частицу в точке х
в момент времени х0. Чтобы ответить на вопрос: какова вероятность
найти частицу Клейна — Гордона в некоторой точке у в момент времени у0,
нужно, во-первых, найти эрмитов оператор, который заслуживает названия
оператора координаты, и, во-вторых, найти его собственные функции 'Fy,
у0(т). Если частица находится в состоянии с волновой функцией ф(х), то
тогда, согласно общим принципам квантовой меха-
§ 3. Оператор координаты
69
ники, амплитуда вероятности найти частицу в точке у в момент времена уо =
х° будет равна (Тг„ ф).
Простейший путь для получения оператора координаты —принять, что он равен
эрмитовой части оператора iVp:
x0p = iVp — -j р2_^^2 • (3.35)
Оказывается, что этот оператор хор и в самом деле приемлем в качестве
