Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
находим = a?iT
а поэтому ток (4.12) принимает вид
/* = сф*руйф. (4.34)
С помощью «сопряженной» волновой функции ф, определенной согласно
ф = ф*Р = ф*уог (4.35)
выражение для тока записывается в виде
/ь = сфу,1ф. (4.36)
Аналогично через матрицы у записывается и плотность
/° = cq = сф*у°у°ф = сфу°ф. (4.37)
Уравнение для сопряженной функции ф = ф*у° получают из уравнения (4.6),
вставляя в каждом члене справа от ф* множитель у°у° = 1 и используя затем
соотношения (4.9), (4.10) и (4.27). В естественной системе единиц это
уравнение запишется так:
гдцфу*1 + тпф == 0. (4.38)
§ 2. Свойства матриц Дирака
Матрицы у образуют совокупность гиперкомплексных чисел, удовлетворяющих
перестановочным соотношениям + Yv'Ytl — 2^v. При их
изучении (см. Паули [624, 625], Гуд [331]) не обязательно
предполагать,
что они обладают каким-либо определенным свойством относительно
эрмитового сопряжения.
Рассмотрим 16 элементов:
/
jy1 iy2 jy3 у°
jy2y3 jy3yl jy^y2 yOyl yQy2 yOy3 jy0y2y3 jyOyly3 jyOyly2 yly2y3 jy0yly2y3
Все другие произведения матриц у с помощью перестановочных соотношений
могут быть сведены к одной из этих шестнадцати. Множитель i вставлен для
того, чтобы квадрат каждого элемента был равен +1. Обозначим элементы в
выписанном порядке при помощи Гг (Z= 1, 2, .. ., 16). Замечаем, что с
точностью до множителей ± 1 или ± i произведение любых двух элементов
всегда .равно третьему. Для каждого элемента Гг, за исключением Г, = /,
всегда можно найти такой элемент Г;, что Г;ТД;= — Гг. Это утверждение мы
докажем, непосредственно указав элемент Г7- для каждого Гг- Так, для 1 =
2, ...,5, т. е. для элементов
§ 2. Свойства матриц Дирака
79-
второй строки списка, Гу = iyOy^y3; в случае третьей строки, например,
элементу ?у2у3 соответствует Гу = ?у2, так как (iy2) (?у2у3) (iy2) = —
{iy2У3)', для всей четвертой строки Г^-= ^у°у1у2у3, а для пятой в
качестве Гу можно выбрать, например, у0. Отсюда следует, что след любой
матрицы Гг с i ф 1 равен нулю, так как
- Sp Гг = Sp TjTtTj = Sp Г,Г§ - Sp rf.
Шестнадцать элементов Гг(?=1, 2, ..., 16) линейно независимы, дру-
16
гими словами, равенство 2 агГ; = 0 справедливо только тогда, когда все а;
= 0 (? = 1, 2, .. ., 16).
16
Доказательство: Вычисляя след от 2 ЯгГг = 0, получим aj = 0. Ана-
t=i
логично, последовательно умножая уравнение на каждую из Гг- и вычисляя
след, получаем, что at = 0, что и требовалось доказать. Отсюда мы
заключаем, что гиперкомплексные числа нельзя представить матрицами
размерности, меньшей 4x4, так как при меньшей размерности не существует
16 линейно независимых матриц. Обратно, у можно представить матрицами,
размерностью 4x4, потому что среди этих матриц имеется ровно 16 линейно
независимых (так как число элементов 4x4 матрицы равно 16). Это
представление (как и все ему эквивалентные) оказывается неприводимым*).
Любое другое представление может быть приведено к виду
/У 0^
Р =
VO у7
где у1 — матрицы размерности 4x4. В дальнейшем всегда будет
предполагаться, что у — неприводимые 4x4 матрицы.
Из линейной независимости Г; следует, что^всякая 4x4 матрица X может быть
записана в виде
Х=2*|Г|, (4.39)
г=1
где
x^^SviXTi). (4.40)
Так как у-матрицы неприводимы, то из леммы Шура следует, что любая 4x4
матрица, коммутирующая со всеми матрицами у>\ кратна
!) Совокупность гиперкомплексных чисел, удовлетворяющих соотношению YVИ-
YVY1^ =2g|iv, называется алгеброй Клиффорда. Алгебра Клиффорда существует
для любого пространства, снабженного метрикой g^v. Если размерность
пространства равна п, то размерность алгебры (т. е. число элементов Г)
равна 2п. При п четном (тг = 2т) только единица коммутирует со всеми
элементами алгебры, так что если не различать эквивалентных
представлений, существует одно и только одно неприводимое, представление
алгебры. Оно реализуется г х г матрицами с г — 2т. Кроме того,
представление всегда может быть выбрано вещественным. В дираковском
случае п=4, т = 2 и г—22 = 4.
dO
Гл. 4. Уравнение Дирака
единичной матрице. Алгебраическое доказательство этого утверждения
следующее. Пусть X будет матрицей, коммутирующей со всеми матрицами у^, а
следовательно, и со всеми Г;. Представим X в виде
X = xjTj + 2 жгГг (Тj ф I)
1фi
Пусть Г; такая матрица, что Г;Г;Гг= — Г^. По предположению, ГгХГг = X, а
поэтому, умножая (4.41) слева и справа на Гг, получаем
Х = -xjTj+'2l xlYtTirt = -xjTj+'Z Xl{± 1)Гг, (4.42)
i=pj 1фj
где множители ± 1 возникают в зависимости от того, коммутируют или
антикоммутируют Гг и Гг друг с другом. Умножая (4.41) и (4.42) на Гу-и
вычисляя след, получаем, что Xj = — xj = 0. Так как в качестве Гу-бралась
любая из матриц Г, за исключением единичной, то единственный отличный от
нуля коэффициент разложения (4.41) есть хг, что и требовалось доказать.
Основная теорема о матрицах у, которая многократно будет использоваться в
дальнейшем, гласит: если даны две системы 4x4 матриц ув и у'^,
удовлетворяющих перестановочным соотношениям
