Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(4.1). С этой целью умножим уравнение (4.3) на оператор
з
19 XI k 9 imc о
тт
1=1
который приведет к появлению вторых производных. Члены с dt и со
смешанными пространственно-временными производными сокращаются, и мы
получаем.
ft=i z=i fe=i
(4.13)
Мы симметризовали здес^ член ahal, что можно сделать вследствие
коммутации d/dxh и д/дх1. Чтобы уравнение (4.13) согласовывалось с урав-
76
Гл. 4. Уравнение Дирака
нением Клейна — Гордона, необходимо его правую часть свести к
ит2/>2
Это накладывает следующие условия:
y(aka, + aIak) = 6kI, (4.14)
aftp-f-Pa* = О, , (4.15)
(aft)2 = р2 = 1 (Л=1 2, 3), (4.16)
г. е. матрицы а должны антикоммутировать между собой и с матрицей р, а
квадрат каждой из четырех матриц должен быть равен единице. В
практических приложениях нет необходимости использовать явное
представление для а и Р; достаточно знать, что они эрмитовы и обладают
свойствами (4.14) — (4.16). Более того, при решении задач удобнее
обходиться без явного вида матриц. Однако их явное представление легко
можно получить. Прежде всего замечаем, что размерность N должна быть
четной.
Доказательство: Перепишем соотношение (4.15) в виде
Paft = — aftp = (— /) afep, (4.17)
где / — единичная матрица. Взяв детерминант от обеих частей равенства
(4.17), получим
(det Р) (det ak) = ( — 1)N det a* - det p, (4.18)
где учтено, что det(—/) = ( — 1)N. Отсюда ( —l)w=l, и число N должно быть
четным. Теперь мы приведем другое, несколько более сложное,
доказательство, при котором попутно будет установлено еще одно важное
свойство матриц а и р —равенство нулю их следа. Так как матрицы аир
эрмитовы, то они могут быть приведены к диагональному виду. Отметим,
однако, что все матрицы а и Р нельзя привести к диагональному виду
одновременно, так как они антикоммутируют друг с другом. Выберем
представление, в котором диагональна матрица Р-.
(4.19)
V/
Так как Р2 = /, то Ь|=1 и fe;=± 1 (t = 1, 2, ..., N). Кроме того, так как
p2 = (af‘)2=l, то для каждой из этих матриц существует обратная, так что
равенство (4.17) можно переписать в виде
(afc)-Ipafc= -р. (4.20)
Вычисляя след от обеих частей этого равенства и используя .свойство следа
Sp (АВ) = Sp (ВА), получаем
Sp ((ak)-1Pafc) = Sp (paft (a'1)’1) = Sp p = - Sp p. (4.21)
Следовательно,
Spp = 0. (4.22)
Аналогично,
Spa'i = 0. (4.23)
§ 1. Исторический обзор
77
Пусть теперь в выражении (4.19) имеется т элементов Ъи равных +1, и п
элементов Ъи равных —1, причём m-\-n = N ввиду того, что (1 имеет
размерность N. С другой стороны, свойство Sp Р = О означает, что т—п = 0,
т. е. что т = п. Следовательно, N =2т, так что размерность а и Р доляша
быть четной. В следующем параграфе мы покажем, что размерность с
необходимостью кратна четырем. Если I — единичная 2x2 матрица, а о'4 —
матрицы Паули [см. гл. 1, формулу (1.100)], то тогда
4x4 матрицы
0 ah\ /I 0\
о*о’ о —i) <4-24>
удовлетворяют всем нашим условиям: они эрмитовы и антикоммутируют друг с
другом, что можно показать, используя свойство антикоммутации матриц а.
Это частное представление удобно для обсуждения уравнения Дирака в
нерелятивистском пределе (см. § 4).
Наконец, придадим уравнению Дирака ковариантный вид. В записи (4.3) для
уравнения Дирака пространственные производные умножены на матрицы, а
временная нет. Чтобы устранить это неравноправие, умножим уравнение (4.3)
слева на матрицу (1:
з
— г7ф30ф — ih 2 Ра^ф + = 0- (4.25)
fe=i
Уравнение примет более симметричный вид, если ввести матрицы1)
у° = Р, (4.26)
У = Ра\ (fc= 1, 2, 3). (4.27)
Отметим, что при таком определении "матрица у0 эрмитова и (у°)2= +1, а
матрицы yh — антиэрмитовы, т. е. (yri)* = — у\ и {у11)2 = —1. Отсюда
следует, что матрицы у удовлетворяют перестановочным соотношениям
ytiyv + yvyli = 2g^I. (4.28)
С помощью у-матриц уравнение (4.25) записывается в виде
(-Ч^+^ф=(-гу-<?+^ф = 0, (4.29)
где снова использовано соглашение о суммировании. Уравнение (4.29) и
является ковариантной формой уравнения Дирака, в которой пространственные
и временные производные входят равноправно. Для дальнейшего упрощения
записи уравнения Фейнман [251] ввел так называемое «перечеркнутое»
обозначение 2). Он обозначил при помощи р величину
Р = У-Р = У'хРи = УиР11= У°р° — У-Р, (4.30)
где матрицы уд определяются согласно
Ya = gnvYv- , (4.31)
О В литературе нет единообразия в определении матриц у. Вероятно, все же
в большей части работ yh определяют как гфсс^. В результате во многих
формулах появляется или лишний знак минус, например в (4.28), или i в
матрице у5. Читая формулы, надо всегда проверять, ч; каким определением
мы имеем дело.— Прим. ред.
2) В литературе перечеркнутый символ часто печатают жирным курсивом.
78
Гл. 4. Уравнение Дирака
С помощью этого обозначения и в естественной системе единиц уравнение
Дирака записывается в виде
{-i^ + m) ф = 0, (4.32)
где
^ = + (4.33)
Ток и плотность можно записать с помощью матриц у следующим
образом. Умножая равенство (4.27) на матрицу р слева,
