Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
yByV yV-у.ц _ 2gBV>
Y'By'v -f y'Vy'B = 2g^v,
то существует такая неособенная матрица А, что
у'в = Ау^А-1.
Явный вид А дается выражением
A riFr„
i=rl
где F — произвольная 4x4 матрица, которая может быть выбрана таким
образом, чтобы матрица А была неособенной. Совокупность 16 линейно
независимых матриц Г? построена из матриц у'в точно так же, как были
построены Гi из у^. Для доказательства теоремы заметим, что если ГгГу=
е{Д\, где ги=±1, ± i, то тогда ГгГ;ГгГ_,-= ег?3Ть = е?.,-, так что Г^Г; =
е|зГгГу= е^Гд. Отметим, что в штрихованной системе число выбудет тем же
самым, т. е. Г)Г) = ег_,-Г&, так как его значение определяется только
перестановочными соотношениями, а они одинаковы для обеих совокупностей
матриц. Так как равно либо ± 1, либо db i, то e|j= +1. Воспользовавшись
для А представлением (4.45), получаем
Г -АГj = S Г,ТУТ = S Г№, (4.46).
i i ft
с учетом того, что при фиксированном / матрица Г*ГУ-, находящаяся под
знаком суммы по i, пробегает все значения 16 элементов алгебры. Это
позволило заменить сумму по i суммой по к. Таким образом, получаем
r-STj = S. (4.47)
Так как матрицы у неприводимы, то по лемме Шура матрица А является
неособенной. Кроме того, с точностью до множителя матрица А опреде-
(4.43а)
(4.436)
(4.44)
(4.45)
(4.41)
§ 3. Релятиеистекал инвариантность
81
ляется однозначно. В самом деле, предположим, что таких матриц S имеется
две, скажем Sx и S2, так что у'и = Ajy^S'1 и -у'!1 = S^S'1. Тогда,
исключая у>, получаем у^ = 6,2151у^ (ЗДАД), т. е. что матрица S^S-l
коммутирует со всеми матрицами у^ и, следовательно, кратна единичной
матрице. Отсюда S2 = cS1. Часто бывает удобным наложить условие
нормировки detA=l, которое определяет матрицу S уже только с точностью до
множителя \f 1, равного ± 1 или ± i.
Интересен частный случай соотношения (4.45), когда у'и = ум-. В этом
случае Ау^ = У^А, и S есть матрица, кратная единичной: S = cl. Тогда
матричный элемент соотношения (4.45) с индексами go равен
16
сб0(; = 2 2 (ГОоо^о-о' (Г,)«'о. (4.48)
i=l Q',CT'=1
Так как это тождество верно при любом выборе матрицы F, то из него
следует
16
2 (Гг)ое' (Гг)о'а — bQ'o’&QOi (4.49)
i=i
где 5q 0' — некоторая постоянная. Для определения этой постоянной свернем
индексы g и а:
2 2 (Г;)<j'Q (Гг)00- = 2 (rf)a-Q' = 16flo4f. = 4Ъ^, (4.50)
г=1 Q=1 i= 1
откуда bQ'o’ = 46а.е', и, таким образом, приходим к тождеству
16
2 (Г;)ао (Гг)о'а'= 4боа'бе0'. (4.51)
г=1
Мы заключим этот параграф об общих свойствах матриц у замечанием, что
многие их свойства можно было бы вывести, используя то обстоятельство,
что Гг- образуют группу из 32 элементов. Такая конечная группа всегда
может быть представлена унитарными матрицами. Матрицы Г такого унитарного
представления, кроме того, эрмитовы, а именно из Г|=Г*Гг = / следует, что
Гг=Г*.
§ 3. Релятивистская инвариантность
Теперь мы можем провести исследование лоренц-инвариантности уравнения
Дирака и установить его связь с представлением неоднородной группы
Лоренца, обсуждавшейся в гл. 2.
Физика, выражаемая любым релятивистским уравнением, в том числе и
уравнением Дирака, не должна зависеть от выбора лоренцевой системы
отсчета. А поэтому, чтобы правильно описывать физические явления, само
уравнение должно обнаруживать такую же инвариантность относительно выбора
системы координат. Сейчас мы покажем, что уравнение Дирака инвариантно по
форме относительно неоднородного преобразования Лоренца х’ — Ах-\-а, ATgA
= g, при условии, что преобразованная волновая функция определяется
согласно
ф' (х') = А(А)ф'(х) = S (Л)ф(Л_1(ж' — о)), (4.52)
6 С. Швебер
82
Гл. 4. Уравнение Дирака
а матрица S (Л) удовлетворяет определенным требованиям [см. ниже формулу
(4.59)]. Эта матрица S (Л) имеет размерность 4x4 и действует на
компоненты ф, т. е. в явном виде равенство (4.52) записывается в виде
4
^а(я) = 2 ‘У (Л-) Фз (А-1 (х — а)). (4.53)
3=1
Утверждение об инвариантности уравнения Дирака означает, что в новой
системе отсчета волновая функция ф' подчиняется уравнению
(— iy^ + пг) ф' (х’) = 0, (4.54)
где д'ц = d/dx'v. Отметим, что матрицы у при преобразованиях
Лоренца
остаются неизменными. Теперь уравнение Дирака
( — iy^dy, + т) ф (х) = 0 (4.55)
с помощью соотношений (4.52) и
д дх v д
дх*1 дхI1 дх v
может быть переписано в виде
= Ajtf'v (4.56)
— iA^yn dS } + гаУ-Ц]/ (х') = 0. (4.57)
После умножения уравнения (4.57) на S слева получаем
— 1‘5’(Ацу^)У“15(,ф' (х') + тф' (х') = 0, (4.58)
и, следовательно, уравнение Дирака будет инвариантно по форме
относительно преобразований Лоренца при условии, что
У'1 (Л) уяА (Л) = Л|У. (4.59)
Это и есть упомянутое выше условие, которому должна удовлетворять
матрица У (Л). С помощью равенства A gA = g легко проверить,
что
матрицы у'я = Л|У подчиняются тем же самым перестановочным соотношениям,
что и матрицы yi1, т. е. что y'tiy'v y'vy'a = 2g^v. Отсюда следует, что
неособенная матрица S, удовлетворяющая уравнению (4.59), существует. В
действительности же, как было показано выше, уравнение (4.59) определяет
