Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
S однозначно с точностью до численного множителя.
Дальнейшее условие, которому должна удовлетворять матрица S (Л), можно
найти следующим образом. Эрмитово сопрягая равенство (4.59) и учитывая
при этом действительность матричных элементов Л?, эрми-товость у0 и
антиэрмитовость у,!, получаем
(Л(У)* = (Л^уо - 2 Л^У )* =
h=l
3
= Ли°уо + 2 АЙУ =
k—i
= (S^S)*. (4.60)
§ 3. Релятивистская инвариантность
83
Свойства у0 и yh по отношению к эрмитовому сопряжению компактно можно
записать в виде соотношения
(уи)* = увуМу0, (4.61)
ИЛИ, ЧТО равносильно, В виде уВ = уОуИ*уО. Поэтому если умножить (4.60)
на у0 слева и справа и учесть, что (у0)"1 = у0, получим
з
у°(Л^°у°+ 2 Л^у^) у0 = AvYv = у0 (А_1уиА)*у° (4.62а)
h=i
= (уо^*уо) уд (уо^*уо)-1. (4.626)
Вторая часть соотношения (4.62а), согласно (4.59), равна А_1у^А,
поэтому,
приравнивая (4.626) выражению А_1у^А, находим
(Ау°А*у°) уи (АуоА*у°)_1 = уЩ (4.63)
Следовательно, матрица Ау°А*у° коммутирует со всеми матрицами ум-, а
поэтому кратна единичной матрице
Sy°S*y° = bI, (4.64а)
или, что равносильно,
Sy°S* = by°, (4.646)
А*у° = by°S~1. (4.64в)
Здесь b — некоторая постоянная. В силу эрмитовости у0 и левой части
(4.646) она должна быть действительной: Ь — Ъ. Если принять для S
нормировку det А— 1, то получим Ь4=1, и, следовательно, 6=^1. Выясним
теперь, в каком случае Ъ равна +1, а в каком —1. С этой целью рассмотрим
тождество
S*S = А*у°у°А = буоА'^оА =
з
= 6yoAvYv = Ъ (Л°/ — 2 Л°ку°у'‘) =
3
= й(Л«о/- 2 AoV), (4.65)
h= 1
в котором использованы соотношения (4.64в) и (4.59). Далее, S*S является
произведением неособенной матрицы и матрицы, эрмитово сопряженной к ней.
Так как 5^=0, то отсюда следует, что матрица S*S положительно определена.
Ее собственные значения вещественные (ввиду эрмитовости S*S) и
положительные, а поэтому Sp(A*A)>0, С учетом того, что Spak = 0, получаем
Sp S*S = 4&Л00 > 0. (4.66)
Таким образом, если Л00< —1, то Ъ= — 1, а если Л00>1, то Ь= 1.
Рассмотрим теперь трансформационные свойства сопряженного спинора ф =
ф*у°- При преобразовании ф' = Аф имеем (ф')* = ф*А*, и, следовательно,
функция ф', определяемая согласно
ф' = (ф')*уо (4.67)
6*
84
Гл. 4. Уравнение Дирака
(у-матрицы не преобразуются), преобразуется по закону
= Ц)А_1. (4.68)
Здесь принято во внимание соотношение (4.64). Таким образом, г))' = фА'1
при преобразованиях, которые не изменяют знака времени (Л“ >1), и ф' = —
фА-1 при преобразованиях, содержащих отражение времени
(Л°0<-1).
Смысл соотношения (4.68) становится несколько более ясным, если
рассмотреть трансформационные свойства тока
/в = фуВф. (4.69)
Так как физические следствия уравнения Дирака должны быть одни и те же во
всех лоренцевых системах отсчета, то необходимо, чтобы ток /в
преобразовывался, как 4-вектор, т. е. по закону
/'^ = Av/V = А^фу^ = ф*у°А_1увАф. (4-70)
Этот же ток можно выразить через волновые функции в штрихованной системе
отсчета при неизмененных матрицах у
/'В =1|/*уУ*ф\ (4.71)
Так как ф'* = ф*А*, то (4.71) можно переписать в виде
/'В = ф*А*у°увАф. (4.72)
Сравнивая (4.70) и (4.72), мы видим, что должно выполняться соотношение
iS’*y° = Ч°$~х- Это соотношение совпадает с соотношением (4.64) для
преобразований Лоренца без отражения времени. Однако соотношения (4.64) и
(4.66) свидетельствуют дальше о том, что ток /в является псевдовектором
по отношению к отражению времени, так как он при таком отражении изменяет
знак.
Найдем теперь явный вид А для преобразований Лоренца. Рассмотрим сперва
случай собственных ортохронных однородных преобразований Лоренца, для
которых detA=4-l, а А°>1. Достаточно рассмотреть бесконечно малые
преобразования, так как конечное преобразование может быть получено в
виде соответствующей экспоненты. При бесконечно малом преобразовании
Лоренца Л = / + гХ
+ (4.73а)
Xbv=_xvb, (4.736)
матрицу А (Л) в первом порядке по е можно записать в виде
S(I + eX) = I + zT ^ (4.74)
и
А“1(/ + еЯ) = /-е71. (4.75)
Для бесконечно малых преобразований соотношение (4.59)~переписывается в
виде
А~гувА = (/ — еТ) ув (/ + еТ) = ув + е (уву - УуВ) =
= AvYv = ув -f- eA,vYv> (4.76)
§ 3. Релятивистская инвариантность
85
и, следовательно, матрица Т должна обладать свойством
y»T-Ty» = k$yv. (4.77)
Из соотношения (4.77) матрица Т определяется однозначно с точностью до
аддитивного члена, имеющего вид матрицы, кратной единичной. В самом деле,
если бы существовали две такие матрицы Т, то из (4.77)
следовало бы, что их разность коммутирует со всеми матрицами
у11»
а поэтому кратна единичной матрице. Нормировка det»? = l требует, чтобы
det (/ + гТ) = 1 ~Г е Sp Т= 1, т. е. чтобы Sp7’ = 0. Добавляя к Т
матрицу, кратную единичной, всегда можно добиться того, чтобы Sp7’ = 0,
так что это условие определяет Т уже однозначно и делает det»? = 1. Легко
проверить, что матрица
Т = i (YhYv - YvYa) (4.78)
удовлетворяет условию (4.77) и требованию равенства нулю ее
следа.
Это и есть искомая матрица Т.
При бесконечно малом повороте на угол е вокруг оси х1 имеем Х23= —Х32=
