Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью этой матрицы можно записать
-у5у^ = — -А- е^су^ур. (4.94)
Четыре билинейные комбинации фу5у^ф (р = 0, 1, 2, 3) во всех отношениях
ведут себя, как компоненты 4-вектора, за исключением того, что скалярное
произведение этого вектора с истинным 4-вектором (например, с
координатным вектором) есть не скаляр, а псевдоскаляр. Поэтому фу5ум-ф
называют псевдовектором.
88
Гл. 4. Уравнение Дирака
Наконец, величина фувФ преобразуется по закону Ф^Ф' — йфА^Уб^ф =
= -|р Z)ASA3A^Aa6nvo<T$Y"YpYeYe^ =
= Ъ (detA) 'фуэ'ф, (4.95)
где использовано соотношение
(det Л) eapV6 = е^ЛЙЛрЛ^Л?. (4.96)
Таким образом, величина фУбФ преобразуется как скаляр при собственных
преобразованиях Лоренца и как псевдоскаляр при пространственных
отражениях.
Зная трансформационные свойства билинейных комбинаций фГ;ф, можно в
дальнейшем построить инвариантные величины, описывающие взаимодействие.
Например, инварианты получаются при перемножении комбинации фф(х) со
скалярной функцией %(х), фУбФ(ж) —с псевдоскалярной функцией ф(х),
а комбинации фуйф(ж) — с векторной функцией (ж), которую можно
использовать, например, для описания
электромагнитного поля. Взаимодействие с электромагнитным полем может
также иметь вид фст^фЕ^, где F^v (х) — тензор напряженностей
электромагнитного поля. Это взаимодействие известно как взаимодействие
Паули для магнитного момента.
Теперь мы определим инвариантное скалярное произведение двух дираковских
спиноров ф (ж) и ф (х) в момент времени ct = х0:
(Ф> фД = ^ <23яф (ж) у°Ф =
<
4
= ^ dsx у, фа (ж) фа (ж). (4.97)
t а=1
Это скалярное произведение можно обобщить на случай произвольных
пространственно-подобных поверхностей:
(Ф> ф)а= ^ Лт»А(а:)ф(а:)у^ф(ж). (4.98)
О
Если ф и ф подчиняются уравнению Дирака, то такое скалярное
произведение не зависит от о, а поэтому в качестве о можно
взять и плоскость
t = const. Доказательство независимости (ф, ф)ст от о проводится
следующим образом:
WW^ ф^°=^ ^=
= (^$Yb) Ф + Ф (Y^b9) =
=+{/?г(фф —фф) = 0. (4.99)
Отсюда следует, что скалярное произведение сохраняется во времени. При
таком скалярном произведении отображение |ф)—>|ф/), соответствующее
какому-либо преобразованию Лоренца, не изменяющему знак
§ 3. Релятивистская инвариантность
89
времени, осуществляется унитарным оператором
U (а, Л) 1 ^> == I (4.100)
причем
(х | U (а, Л)| ф ) = (ж | ф') = Ч1^а, л)^ (х) — $ (4) Ф (Л"1 (х — а)).
(4.101)
Унитарность доказывается тем, что
(U (а, Л) 1]з, С/(а,Л)<р) =
= ^ do^ (ж)ф(Л“г(.т — а)) У-1 (Л) y^S (Л) ф (Л-1 (х — а)) =
а
= da^ (х) ф (Л'1 (х — а)) Л^угф (Л-1 (х — а)) =
О
— dav (Л-1 (х — а))ф (Л-1 (х — а)) угф (Л-1 (х — я))-=
= (ф, ф). (4.102)
Бесконечно малое преобразование записывается в виде
%(а,Л) = (4Л03)
где генератор 3 определяется из соотношения (4.101) с помощью (4.73) и
(4.74):
С’
1 + гЗ j ф (х) = (I + еТ) ф (х — гХх) =
= (/+еГ) (ф(:с)_е(Ъ^^+...) =
= ф (х) + е (Т — Х^д^) ф (х) + . .., (4.104)
так что
3 = - ih (Г - 3?х?д0). (4.105)
При бесконечно малом повороте вокруг оси х3 оператор 71=1/аг23, и от нуля
отличны только X21 = — X12 = +1. Следовательно,
3^ — -у- Бз + [г X р] з• (4.106)
Этот оператор можно принять в качестве третьей компоненты полного момента
количества движения частицы. Таким образом, дираковская частица, кроме
своего орбитального момента, имеет еще и собственный
момент количества движения 2, по величине равный . Следует от-
метить, что оператор спина 1/2 2 не является интегралом движения, так как
[Н, 2] Ф 0. Точно так же не является интегралом движения и орбитальный
момент количества движения. Однако полный момент
J = -у- 2 + [г х р] есть интеграл движения. На самом деле это определение
момента количества движения основано на- предположении, что оператор г
является оператором координаты дираковской частицы. Ниже мы уви-
90
Гл. 4. Уравнение Дирака
дим, что это не так и что при помощи другого оператора координаты можно
определить другой оператор момента количества движения, который будет
обладать тем свойством, что его орбитальная и спиновая части будут
порознь интегралами движения.
§ 4. Решения уравнения Дирака
Уравнение Дирака имеет решения в виде плоских волн:
г
г|з(а:) = е пРХи(р), (4.107)
где и (р) — 4-компонентный спинор, удовлетворяющий уравнению
(р — тс)и(р) = 0. (4.108)
Скалярное произведение двух спиноров и и и' записывается в виде
4 _
и*и' = 2 иаи'а = иу0и'. (4.109)
а=1
При таком определении скалярного произведения гамильтониан //= ca-p-j-
Ргсгс2 эрмитов:
4
и’*Ни= 2 “а#а(зы.р = (Ни')*и (4.110)
а, Р=1
(здесь учтено, что а = а* и р = р*), и поэтому его собственные значения
действительные. Уравнение (4.108) является системой четырех линейных
однородных уравнений для компонент иа (а=1, 2, 3, 4). Нетривиальные
решения существуют только если det (р — тс) = (р2 — т2с2)2 = 0. Итак,
уравнение имеет решения только, когда р2 = т^с2, т. е. р0 = + У"р2+ т2с2.
Пусть и+ (р) будет решением, соответствующим ср0 = ?(р) = + с }/р2 + т2с2
