Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
в момент времени у0 (явный вид см. в работе [576]), и пусть имеется
частица в состоянии с волновой функцией f{x). Тогда амплитуда вероятности
найти» эту частицу в точке у в момент времени х° — у° равна
(фупо, /) = ^ doI* (ж) фуоу (х) Yu/ (X). (4.195)
хО
Как мы видели, в представлении Дирака орбитальный момент количества
движения [х х р] и спиновый момент 1/2 2 порознь не являются интегралами
движения. Интегралом движения является только их сумма. Однако можно
проверить, что оператор [X X р] и оператор
(4.196)
V _ у фс [tt X р] с2[р х [<Г х р]]
* Е(р) ?(р)(Е(р)+тс*) ’
где
eiSSMriS = S = ^[«xa], (4.197)
являются интегралами движения порознь. Это легко проверяется в
представлении Ф. — В., где эти операторы имеют вид соответственно [х X р]
и 2. В самом деле, они коммутируют с гамильтонианом Н'= $Е{р). Это
очевидно из того, что 2 коммутирует с |3, а [х х р] коммутирует, с Е (р)
[так как Е (р) зависит только от р2 и, следовательно, является трехмерным
скаляром]. Фолди и Вотхойзен назвали оператор 2дг «оператором среднего
спина».
Представление Ф. — В., в частности, полезно при обсуждении уравнения
Дирака в нерелятивистском пределе, так как операторы, предста-
г) Легче всего получить эти соотношения в представлении Ф. — В., а затем
вернуться к представлению Дирака.
102
Гл. 4. Уравнение Дирака
вляющие физические величины, находятся во взаимнооднозначном соответствии
с операторами теории Паули. Существует другой предел, представляющий
значительный интерес, а именно ультра релятивистский, когда массой
частицы можно пренебречь по сравнению с ее кинетической энергией, или
равносильно, когда можно пренебречь тс по сравнению с импульсом частицы |
р ]. Соответствующая форма уравнения Дирака получается при выборе w с
таким расчетом, чтобы в (4.181) обратился в нуль коэффициент при |3, а
член с а-p сохранился. Это достигается, если
(4.198а)
? (Р)+ 1 Р I с Т Р
P±iS' _ _____________I Р I
2Е (р)
Гамильтониан в новом представлении имеет вид
Н" = ^-Е{р). (4.199)
В результате преобразования мы получили такой вид гамильтониана, что
состояния с положительной и отрицательной спиральностью описываются
независимо при помощи двухкомпонентных уравнений (см. работы ?Чини и
Тушека [135] и Бозе, Гамба и Сударшана [79]). ^ УГ1
§ 7. Состояния с отрицательной энергией
Мы уже отмечали, что уравнение Дирака имеет решения с отрицательной
энергией. Их физическая интерпретация некоторое время представляла
большие трудности; например, частица с отрицательной энергией, если бы
она существовала, ускорялась бы в направлении, противоположном
направлению действия внешней силы. Существование решений с отрицательной
энергией не причиняло бы беспокойства, если бы вероятность перехода из
состояний с положительной энергией в состояния с отрицательной была бы
равна нулю, так как в этом случае частица с положительной энергией всегда
оставалась бы в состоянии с положительной энергией. Но это не так.
Уравнение Дирака предопределяет конечную вероятность перехода под
влиянием внешнего поля из состояния с положительной энергией в состояние
с отрицательной. Однако такие переходы с нарушением закона сохранения
энергии никогда не наблюдались. В 1930 г. Дирак [170] преодолел эту
трудность, предложив так называемую «теорию дырок», которую он
сформулировал следующим образом: «Предположим, что почти все состояния с
отрицательной энергией заполнены, причем в каждом состоянии в
соответствии с принципом запрета Паули находится по одному электрону». В
таком случае принцип запрета делает невозможными переходы электронов с
положительными энергиями в состояния с отрицательными энергиями, если
последние заняты полностью, и до тех пор, пока они не будут
предварительно освобождены каким-либо образом. Такое «незаполненное
состояние с отрицательной энергией проявляет себя как нечто, обладающее
положительной энергией, так как, чтобы заставить это состояние исчезнуть,
т. е. чтобы заполнить его, нужно добавить к нему электрон с отрицательной
энергией». Подобным же образом «дырка» имела бы заряд, противоположный
заряду частицы с положительной энергией.
w =
тс , тс
-—- arctg п—г р й I р 1
§ 7. Состояния с отрицательной энергией
103
Таким образом, с самого начала одночастичная теория имеет смысл только в
отсутствие взаимодействий, т. е. для изолированной свободной частицы. Для
интерпретации теории в присутствии взаимодействий мы вынуждены прибегнуть
к многочастичной формулировке, в которой число частиц не сохраняется, т.
е. к теории поля.
Когда Дирак впервые предложил свою теорию, полагали, что мир состоит
только из протонов и электронов, и естественно было надеяться, что
«нечто» должно было бы отождествляться с протоном (большую массу протона
обосновывали присутствием электронов в состояниях с отрицательной
энергией). Вскоре эта возможность была отвергнута Оппенгей-мером [605] и
Вейлем [840], и было показано, что «нечто» должно иметь массу, равную
