Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 46

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 373 >> Следующая

и, следовательно, удовлетворяющим уравнению
(са- р+ Ртс2) и+ (р) = Е (р) и+ (р). (4.111)
Если представить решение и+ в виде и+ = ^ ^ , где и и2 имеют по
две компоненты, и если принять для матриц аир представление (4.24), то
получим уравнение для и{ и и2:
сог-ри2 + mc2Ui = Е (р) щ, (4.112а)
са? рм( — тс2и2 — Е (р) и2. (4.1126)
С учетом того, что Е (р) -)- тс2ф0, находим из (4.1126)
и2 = с~ЁШ^и^ (4-113)
а подставляя это выражение обратно в (4.112а), получаем уравнение
f с2(0-.р)
2
X Е (р)-|- те2
Однако, поскольку (ц.р)2 = р2 и
тс
^ н, = 2? (р) (4.114)
§ 4. Решения уравнения Дирака
91
то мы приходим к заключению, что уравнение (4.112а) удовлетворяется
тождественно. Таким образом, при каждом значении импульса р имеются два
линейно независимых решения с положительной энергией, кото-
можно выяснить и несколько иным путем. Оператор Гамильтона Н = са ? р +
fimc2 коммутирует с эрмитовым оператором
Оператор s(p) называют оператором спиральности, или, просто, спираль-
ностью частицы. С физической стороны он соответствует проекции спина
частицы на направление движения. Ввиду коммутации Н и s(p) в качестве
решений можно выбрать общие собственные функции этих операторов. Так .как
s2(p) = l, то собственные значения оператора s(p) равны + 1. Решения с
заданным импульсом и фиксированным знаком энергии можно классифицировать
по собственным значениям оператора s (р). Аналогично можно
классифицировать и решения с отрицательной энергией, когда р0 = — У^р2 +
т2сг . В этом случае снова имеются два линейно независимых решения,
соответствующих собственным значениям +1 и — 1 оператора s(p). Итак, при
фиксированном импульсе р уравнение Дирака имеет четыре линейно
независимых решения, характеризующихся значениями р0 — ± сЕ (р), s (р) =
+ 1т
Явный вид двух линейно независимых решений уравнения Дирака с импульсом р
и положительной энергией следующий:
Нормировочные множители здесь определены из условия и*и = 1. Отметим, что
эти два решения ортогональны друг другу:
Выписанные решения не являются собственными функциями оператора ^ (р).
Решения с положительной энергией и с определенной спирально-стью можно
получить, если принять во внимание, что уравнение 5(р) U<±> (p) =
+гД±)(р) записывается в виде
где и i4±J — верхние и нижние пары компонент спинора гД±\ а и — единичный
вектор, направленный по р, п = р/] р |. Отсюда для нормиро-
рые соответствуют, например, выбору Wj в виде
(4.116)
где
(4.117)
1
О
(4.118а)
О
-1
(4.1186)
гДг)* (р) (р) = 6rg, (г, s=l, 2).
(4.119)
(4.120а)
(4.1206)
92
Гл. 4. Уравнение Дирака
ванных величин получаем выражения
и<+>
1 /2(вз+1) ("SO (4.121а)
и{~)
/2 (ге3-|- 1)
1—(++"')• (4-121б>
Таким образом, нормированная собственная функция со спиральностью +1 и с
положительной энергией записывается в виде
<+>(р>"7?й=ЯГ /'
Е (р)-(- гос2
/2 (п3+1) г 2Е (р)
«з+1 «1 + !л2 c|pl / «3+1
/ п,
Е (р) -f- тес2 -j- in2
(4.122)
Попутно заметим, что в нерелятивистском пределе компоненты иг реше-
„ V
ния с положительной энергией по порядку величины равны — и,
следовательно, малы.
Доказательство: В нерелятивистском пределе норма иг по порядку величины
равна норме ии помноженной на (и/с)2, поскольку
* с2Р2 * f mV * 1 f V Л2 * If 40QV
U2U>= (Д(р) + тес2)2 UlU^K^J U*Ui~ <4J23>
В предельном случае покоящейся частицы (р = 0) четырьмя линейно
независимыми решениями (в этом случае их можно выбрать так, чтобы они
были собственными функциями 23) являются
(4.124)
§ 5. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы
Для спиноров Дирака удобнее принять условие нормировки м+(р)и+(р) = =
» а не и*+ (р) и+ (р) = 1, так как подобная
нормировка инвариантна — обе части условия нормировки
преобразуются как четвертая компо-
нента вектора. Это условие очень просто записывается с помощью
сопряженного спинора. Умножая уравнение
р0и — (са-р + Рягс2) и (4.125а)
на слева и уравнение
р0и* — и* (са-р + $тс2) (4.1256)
на $и справа, складывая и учитывая антикоммутацию (5 и а, находим
2р0и*$и = 2тс2и*и. (4.126)
§ б. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы
93
Отсюда, вспоминая определение u = u*p и используя условие нормировки и*и
= , получаем
~ ТроТ= е(Ро)- (4.127)
Таким образом, ии равно +1 или — 1 в зависимости от знака энергии.
Обычная краткая запись ии = е, причем е = +1 для спиноров с положительной
энергией и — 1 для спиноров с отрицательной энергией. Попутно выпишем
уравнение для сопряженного спинора, для чего уравнение (4.1256) нужно
умножить справа на |3. В обозначениях, предложенных Фейнманом,
“(Р) (р-тс) = 0. (4.128)
При помощи техники, аналогичной той, которая использовалась при выводе
(4.126), можно получать средние значения операторов Г* в состоянии и(р).
Так, вычислим, например, величину и (р) у^и (р). Для этого умножим
уравнение (р — тс)и = 0 на ну*1 слева и уравнение (4.128) на у»и справа и
сложим
2тси (р) у»и (р) = и (р) (ру» + у»р) и (р) =
= (р) (у^ + У»УЧ) и (р) =
= 2ряц (р) и (р). (4.129)
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed