Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
I ЙГб>
724
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
ы*) = w я (-|)л (f) I <?р> =
= 2 (Ра]Я(0)|А6)(А6|А(0)|(?р)е+«-*е чч+р,‘2 (18.211)
I К6> '
где | Кб) — физические состояния, образующие полную систему. Выполняя
суммирование по всем состояниям с фиксированным импульсом К и вводя
обозначения
G% (К) = ^{Ра\А (0) |Кб) (Кб | ? (0) | 0р>, (18.212а)
6
Gpq (К) = 2 (-Pa I В (0) I Кб) (Кб I Л (0) | <?р), (18.2126)
6
можно записать функции Д и Д следующим образом:
Д(z)=jj diqe-ii-xeL<'Q+P) ^GpQ(q) =
= J &де-ч-*С%(д + ~ (Q + P)) , (18.213а)
f2\x)= J d*qe-'4 ^Q^~q + Y(Q + P)) ? (18.2136)
В силу спектральных условий для физических состояний функции 6’0) (К) и
Gm (К) равны нулю, когда импульс К лежит вне светового конуса будущего.
Если ввести фурье-образы Д (q) и /2(9) функций fl(x)nf2(x)
fi(.^)='\>t’~iqxli(q)diq, (18.214а)
f2(x)=\je-^xJ2(q)diq, (18.2146)
то, сравнивая формулу (18.214а) с формулой (18.213а), заключаем, что
фурье-образ Д (q) равен нулю, когда вектор 1/2(QР)-\-q не является
импульсом физического состояния, т. е. когда вектор 1/г(<? + ^))+9 лежит
вне конуса будущего. Аналогично, сравнивая формулу (18.2146) с формулой
(18.2136), выясняем, что фурье-образ /2 (q) равен нулю, когда вектор V2
(Q-\-P) — q лежит вне конуса будущего. Конкретнее, фурье-образ fi(q)
отличен от нуля только тогда, когда вектор 1/2(Р + (?) + <? является 4-
импульсом такого состояния |«i), что
<ЛхИ(0)|И1>#0, <И1|Я(0)|ер>#0, (18.215)
а фурье-образ f2(q) отличен от нуля только тогда, когда вектор V2 (P + Q)
— q есть 4-импульс такого состояния | п2), что
(Ра | 5 (0) | п2) Ф 0, (п21 А (0) | (?р) Ф 0. (18.216)
Предположим, что наименьшее значение массы для состояний, удовле^
творяющих условию (18.215), равно ти а для состояний, удовлетворяющих
(18-216), равно т2. Тогда в системе координат, в которой
у (Р + <?) = («, О- 0, 0),
(18.217)
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
725
fl (<Д ф 0 при всех <7 = (<7о, q), удовлетворяющих неравенствам
(q0 + a)> О, (18.218а)
(q0 + a)2 — <\2>т\,
(18.2186)
т. е. внутри гиперболоида, который заштрихован на фиг. 146. Другими
словами, fi(q) = 0 при всех q = (qo, q), удовлетворяющих неравенству
Фиг. 146.
Яо < — а + V q2 + т\ . Аналогично, /2 ^ 0 при всех q, удовлетворяющих
неравенствам
(« — 7о)>0, (18.219а)
(а — 90)2 — q2>mj, (18.2196)
или, что то же, /2 = 0, когда <7 удовлетворяет неравенству
?о > « — Kq2 + л*® •
Таким образом, вследствие спектральных условий фурье-образ /(^) =/, (?) —
f2(q) равен нулю при всех значениях q, удовлетворяющих
(18.220)
Уч2
? т:
< q0 < — a -f У q2 + т\,
т. е. вне двух гиперболоидов, изображенных на фиг. 147. Если а >
т1 + т2
726
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
то эти гиперболоиды пересекаются. (Мы принимаем а > х/21 -— тга21 -Это
неравенство выполняется в приложениях.)
Решение математической проблемы нахождения наиболее общей функции f(x),
равной нулю вне светового конуса i2>0 и имеющей фурье-образ, равный нулю
в некоторой области R импульсного пространства, было дано Дайсонрм [203,
204]. Сейчас мы перейдем к изложению его
Фиг. 147.
решения. Основная идея состоит в переходе к 6-мерному псевдоевкли-дову
пространству и установлении связи между функциями / (ж), равными нулю при
ж2 < 0 в 4-мерном пространстве, и функциями, определенными на световом
конусе в 6-мерном пространстве1). Представление Дайсона есть
нетривиальное обобщение представления, полученного Постом и Леманом [405]
для функции, также равной нулю вне светового конуса, но имеющей носитель
в импульсном пространстве, симметричный по <70, т. е. такой, что т^ = т2.
т) В действительности число добавляемых измерений несущественно. Однако
добавление двух пространственных координат кажется удобным потому, что в
пространствах с нечетным числом пространственных измерений справедлив
принцип Гюйгенса. (В. Я. Файнберг [928] показал, что для получения
представления Дайсона вообще нет необходимости увеличивать число
измерений.—Прим. ред.)
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
727
Обозначим через z 6-вектор (г0 = ж0, г1 = ж1, z2 — x2, г3 = ж3, zi
= yl,
25 = 2/2), a eadab г 6-вектор (r0 = g0, rl = qi, r2 = q2l r3—g3, г4 =
/ц, rb = p2).
Метрику в 6-мерном z-пространстве определим согласно
z.z^z^ = xi — y2 = xl — x\-xl — xl-yl-yl. (18.221)
Рассмотрим теперь функцию F (z), определяемую заданием функции / (х)
в 4-мерном пространстве:
F (z) = 4л/ (ж) б (х2 — у2), (18.222а)
= 4л/(ж)6(г2). (18.2226)
Как видно из (18.2226), функция F (z) определена только на световом
конусе 6-мерного z-пространства. Поскольку
+ со со
J ^ ^2/2^ (г) = 4л/ (ж) • 2я ^ dy2 6 (ж2 - у2) =
— СО О
= 4л2/ (ж) 0 (ж2), (18,223а)
14*?/(*) при »->0, 2И
( 0 при ж2<0,
приходим к заключению, что если /(ж) равна нулю при ж2<0, то функции F(z)
и / (ж) определяют друг друга: функцию / (ж) можно получить, интегрируя
функцию F (z):
-j-оо СО
= F(z) dyidy2 = ~\^ F (z) dy2. (18.224)
—00 0
В дальнейшем специальный 6-вектор (q0, qu q2, g3, 0, 0) будет
