Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
возмущений в виде ряда по некоторому параметру, выбирая в качестве
нулевого приближения r-функции для свободного поля, то единственным
образом придем к перенормированным разложениям теории возмущений,
согласующимся с предполагаемым типом стабильной частицы [347, 586, 878].
Произвол, связанный в лагранжевой формулировке с неоднозначностью в
выборе лагранжиана взаимодействия, про-
\ d*vKur (х — и) А (и — и) Kvr (у — v), (18.172)
!) Нишижима [585] рассматривал эти уравнения как условия
самосогласованное™ рекуррентных соотношений. Существование решения у
уравнения (18.170) равносильно внутренней непротиворечивости аксиом и
асимптотических условий.
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 717
является в том, что здесь решения г (х\ у, хи ... хп) определяются не
однозначно, а только с точностью до членов вида
Р (уу ’ b*k’ • • • ^п) ь(х~у)ь(х-х^6(х~х^ • • • д(Х~ Хп) =
— с0б (х — у)8(х — х1) ... б (х — хп) +
+ Ct 2 Пи6 (я — г/) б (z — Xl) ... б (ж— хп) + .. ., (18.174)
г
где Р — инвариантный, симметричный полином по операторам
дифференцирования. С точностью до численных множителей константы с0, сь
... связаны с константами связи различных взаимодействий. И наоборот,
различные константы интегрирования, входящие в решение уравнений
(18.170), соответствуют константам связи лагранжева подхода.
Наконец, отметим, что в случае, когда приходящие (ин-) и уходящие (аут-)
операторы образуют неприводимое представление перестановочных соотношений
для свободного поля, т. е. в случае когда и векторы
а4, ... а n)in и векторы |а4, ... an)out (п = 0, 1, 2, . . .)
образуют базис
всего гильбертова пространства, любой оператор L может быть разложен по
ин- (или аут-) операторам:
СО
L= ^ УУ ^ diXl ' • • \ dixn%m (zi. • • • xn) : фт(ач) ? • • q>in(zn) :•
(18.175)
n=0
Коэффициенты разложения можно определить, если вспомнить, что среднее по
вакууму от нормального произведения операторов равно нулю. Поскольку
|?> фт (2/i)] = i J d%А (У - уд Tyyyyy ^
со
= 2 УГ \ diXi ' • • 5 diXn \ ^4г/^'п+1> (^ь ? ? ? хп\ у'д'У-
п= О
X iA (yi — уд : Фт(хд . . . yin(xn) : (18.176)
и по индукции
[[. . .[L, фшЫ] ? ? • фт (У т.)] =
СО
" 2 тг! \diXi • • • ^diXn \di>Ji " ? )diyni" ^ (у1—А (у™ - х
п~0
X <!?w*m) (xit ... хп, уд ... 2/т) : Фт (Zi) ... фщ(^,)г (18.1771
ТО
(ЧУ, [. . . [L, фт(?/1)], ... Фт(2/т)] ЧУ) =
=- гт ^ d4j[ ... ^ d*ym А (г/! - 2/)) .. . Л (г/т - г/т) ^<т> (г/), . . .
г/т). (18.178)
718
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Если представить Х'т интегралом Фурье
П
^ (хь ... х„) = -~5пТГ J ... 5 d*kne & * ’ (ft„ . . . *„),
(18.179)
то, взяв фурье-образ от обеих частей (18.178), получаем
(ki, . .. kn) — s (/С() . . . е (kn) ('’Fo, [ - • • [L, ф)П (fc4)] .. .
ф!П (kn)] ?o).
(18.180)
Таким образом,
СО
L==2 VT $ rf4/ci I d*kn(W0, [...[L, ф1п (— fct)] ... фщ(-Лп) ]?0)X
71=0
••• e ,(A„) a (fc; — |X®) ... 6(^-^);~n(/ci) ...ф1п(Лп):. (18.181)
В частном случае, когда в качестве L взят гейзенберговский оператор поля
ср (х), воспользовавшись рекуррентной формулой (18.160), можно записать
е (ki) ... е (кп) (?0, [.. . [ф (х), <pin (— fct)], ... ф1п (— к„)] ?0) =
$ d*ki • • • $ d4kne+l^ Кх, . .. КХпг (х; хь .. . хп), (18.182) и тогда
найдем разложение (18.175) для гейзенберговского оператора ф (х)
ОО
ф (х) = ф1П (х) + 2 -^Г 5 diXl ? " $ diXn х
п~2
хКХ1 ...КХпг(х; х,, ... хп) : ф1п (х4) ... ф1п(х„):. (18.183)
При выводе представления (18.183) были использованы следующие тождества:
(?0, ф(х)?0) = 0,1 (18.184а)
J d4k(W0, [ф (х), ф1п(-Л)]?0)е(А)в(Л2-р2)йп(Л) = ф1Ь(®). (18.1846)
Соотношение (18.1846) легко доказать. В силу релятивистской
инвариантности и спектральных условий среднее по вакууму от коммутатора ф
(х) и ф!П (у) имеет следующее лемановское представление:
ОО
(?о, [ф(з), Фш ^о) = г 5 (к2) А (х - 2/; к2). (18.185)
;о
Поскольку (? + р2) фт (х) = 0, ТО Q (к2) = аб (к2 — р2) и
(?0, [ф (лг), ф1п(г/)]?0) = iA (я — У, Р2), (18.186)
где значение +1 для постоянной а было фиксировано при помощи
асимптотического условия.
Глазер, Леман и Циммерман [319] с помощью разложения (18.183) доказали
две теоремы, которыми, в сущности, решается вопрос, каким необходимым и
достаточным условиям должны удовлетворять запазды-
§ 2. Формулировка Лемана, Симашика и Циммермана (ЛСЦ)
71&
вающие функции г (х; xlt ... хп) для того, чтобы они определяли локальную
теорию поля, удовлетворяющую асимптотическим условиям. Они показали
следующее. Пусть задана последовательность произвольных функций г(х; хи
... хп) (п = 0, 1, ...), обладающих свойствами:
а) все г-функции являются вещественными, симметричными и инвариантными
функциями переменных %,i = x — хг (г = 1, 2, ... я);
б) все они являются запаздывающими, т. е. г(|4, ... ?п) равны нулю, если
хотя бы один из векторов лежит вне светового конуса будущего;
в) они удовлетворяют уравнениям (18.170);
г) фурье-образ f (ки ... кп) функции f(x — xu х — х2, ... х — хп) = =
КХКХ1 .. . КХпг (х — Xi, . . . х — х„) конечен на массовой поверх-
