Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
дисперсивная части по-прежнему определяются разложением 0 (х) = 1/2(е (х)
+ 1), однако благодаря наличию спиновых переменных протона и фотона
функции А и D не являются больше действительными1).
Если воспользоваться соотношением (18.281а), то в формуле (18.277а) можно
исключить отрицательные значения со, и мы'получим
М
XX
(«,) = !( ' (18'284а>
Дисперсионные соотношения с одним вычитанием в пределе е—>0 будут иметь
вид
(со) - />Г, (0) = Re МЦ (®) - Re (0) =
9r,i2 с° AIs. (со') dсо'
= -Р ач • 18.2846)
л J О) (О) 2—со2) '
о
По оптической теореме (11.97), которая является следствием унитарности
/^-матрицы, имеем при со > 0
Imilfft (со) = Afx (со) = ? (®), (18.285)
так что окончательно дисперсионные соотношения запишутся в виде
(®) - &?х (0) = ~ Р \ • (18.286а)
о
1) Абсорбционная А и дисперсивная D части всегда являются эрмитовой и
антиэрмитовой частями У-матрицы S =—A-\-iD.
Если же ввести амплитуду рассеяния Г соотношением «S' = 1 —|—гТ1 (Т — D-
\~iA), то D и А будут эрмитовой и антиэрмитовой частями амплитуды Т [65—
67] — Прим.ред.
740
Гл* 18. Аксиоматическая формулировка
В § 5 гл. 17 было показано, что
?&(0)=--^, (18.2866)
и, следовательно, соотношеЕше (18.286а) можно переписать в виде
со
Д&И=-?-+Й-Р (18.286b)
о
Аналогичные дисперсионные соотношения справедливы также для рассеяния
фотона на системе со спином 0. В случае комптооовского
рассеяния на протонах в числе состояние! рпа), вносящих вклад в (ш)
(формула (18.283)], будут состояния, содержащие, кроме протона, еще
фотоны и электронно-позитроиные пары, а также состояния с мезонами и
нуклон-антинуклонными парами.
Состояния с двумя или более фотонами или с электронно-позитрон-ными
парами имеют порядок не ниже е4, и, следовательно, если пренебречь
членами, начиная с порядка е4, то при са > ц наинизшим состоянием,
вносящим вклад в А5а, будет мезон-нуклонное состояние. Ниже порога
фоторождения мезона (о> < pi) в пренебрежении членами, начиная с порядка
е4, абсорбционная часть амплитуды равна нулю. Поэтому можно ожидать, что
полное сечение вблизи порога хорошо аппроксимируется сечением
фоторождения (сравнение таких дисперсионных соотно1пений с
экспериментальными данными можно найти в работах Каппса [106, 107] и
Мэтьюза [547().
Простота вывода дисперсионных соотношений для процессов с фотонами
обусловлена тем, что у фотона j к | = со, и на основании предположения о
причинности множитель ехр (ton) в формуле (18.2716) преобладает над
множителем ехр (— гсае-х). В случае частицы с конечной массой (са = [/к2
+ ц2) с областью энергий 0 < а < р, связаны значительные трудности.
Однако прежде, чем переходить к случаю рассеяния частиц с ненулевой
ма<Щ0Йг-Отметим, что дисперсионные соотношения можно выводить не (голнко
ддя амплитуд рассеяния, но и для других величин. V J )
Рассмотрим величину
/О) = (0|/Л0)|щ, kj)\n, (18.287)
где q и А —импульсы; i и / —изотопические переменные двухмезонного
состояния | qi, kj)in\ (х) — оператор 4-вектора плотности электромаг^
нитного тока. Выражение (18.287) определяет электромагнитный формфактор
мезона. [С такой же легкостью можно было бы рассмотреть и матричный
элемент +(qi | (0) | kj)+, с которым матричный элемент
(18.287) тесно связан.) Инвариантность относительно преобразований
Лоренца означает, что
7Иц(<7, i; к, /) =A^Mv(A<7, i; Ак, /) (18.288)
и, следовательно,
kf) = (aqtl + bkll)Mtj((q + k)‘). (18.289)
(Мы опустили у Мц зависимость от к2 и q2, поскольку импульсы к и q
соответствуют физическим мезонам k2 = q2 = ]x2.) Калибровочная
инвариантность, или требование (х) =0, подразумевает, что
(q + кГ (0 I /„ (0) I qi, kj)in = 0 (18.290)
§ 4. Дисперсионные. соотношения
741
и, следовательно,
М» {gi, kj) = (д - А), Ми ((,q + А)2), (18.291)
поскольку (д — к) (д 4- к) — д2 — А2 = 0. Наконец, инвариантность
матричного элемента относительно любых вращений вокруг оси
3 в изото-
пическом пространстве означает, что
Мц ((? + А)2) = ettj М ((д + А)2). (18.292)
Объединяя полученные выше следствия требований симметрии, можно записать
матричный элемент M^(qi; kj) в виде
?Мд {Я1, А/) = i 4ij (д — А)д М ((д + А)2). (18.293)
С помощью асимптотических условий матричный элемент (18.287) можно
привести следующим образом:
Mv. {gi, kj) = (0 | /ц (0) a%m (A) | gi) =
= lim i \ d3x (01 (0) ip,- (x) | gi) \ }h (x) =
(-+ —CO J
= - i ^ d4x/ft {x)Kx{0 I 71 (/n (0) (pj (x)) \ gi). (18.294)
При действии оператора Kx на 71-произведение снова возникает
одновременной коммутатор, приводящий к членам, которые по соображениям
инвариантности и предполагаемой локальности теории должны иметь вид
произведения вектора (q — k)u на полином от (д + А)2. Мы временно опустим
эти члены и просто запишем
М» {gi, kj) = i J d*xe~ik-* (0 | Г (/„ (0) J) (x)) | gi), (18.295)
где Jj (x) = Kx(fj (x). Расписав
T (/д (0) Jj (x)) = 0 (- x) [/„ (0), Jj (x)] -+ Jj (x) /„ (0), отметим,
что член
^ dixe-ih-x{0\Jj{x)jv.{0)\qi) =
= (2л)42 6<4) (A + pn) (01 /у (0) | pna) {pna | j^ (0)1 gi) (18.296)
