Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 320

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 314 315 316 317 318 319 < 320 > 321 322 323 324 325 326 .. 373 >> Следующая

lPna>
при A0 > ц обращается в нуль, так как pnf) должна быть энергией
физического состояния. Поэтому мы перейдем к изучению представления для
форм-фактора
Мд {gi, kj) = i J d4xe-*-* <01 [fr (0), J} (x)] | gi) 0 (- x),
(18.297)
которое при q2 = A2 = (x2 совпадает с выражением (18.295). Причинность
означает, что Г/д (0), Jj (х)] = 0 при пространственно-подобных х и,
следовательно, Мц есть фурье-образ функции, равной нулю всюду вне
светового конуса прошлого. Предполагая, что состояние ] qi) имеет
определенную четность при пространственных отражениях [а Jj{x)
приобретает при отражении тот же фазовый множитель, что и jqi)l> снова
приходим к заключению, что Мц (gi; со, к, /) = М^ {qi; со, — к, /).
Отсюда следует, что снова можно множитель exp (ik-x) заменить множителем
cos (к-х) и рас-
742
Гл. 18. Аксиоматическиа формулировка
сматривать величину Mil(qi\ со, к, /) при фиксированном значении q как
функцию только переменной со (ибо к2 = со2 — ц2). Опять вся зависимость
от со сосредоточилась в экспоненте
------- к
ехр i (at — у со2 — ц2 е*х), e=="[kJ'
Все эти соображения означают, что можно получить дисперсионные
соотношения для М^, или, точнее, для скалярной функции М ((q + ky). Эту
функцию молено выделить из свернув выражение (18.297) с Esij(q — k)>1 по
индексам ?, / и ц. В результате получаем
[4ц2 — (д + /с)2] М ((q -|- /с)2) =
= ^ Л*хе-*хези {q-k)»(0\[/й(0), J }{х)\ |щ)0(-х). (18.298)
ij
Благодаря калибровочной инвариантности q^ Mv — — k^Mv- и, следовательно,
множитель (q — k)^ можно заменить на 2д^, а этот множитель в свою очередь
в применении к матричному элементу (0 ! [/^ (0), J j (х)[ | qi) можно
представить в виде — 2г<9К В лоренцевой системе отсчета, в которой q = 0,
матричный элемент 2 ези (0 | [/ц (0), Jj(x)]\qi) является
ij
скалярной функцией от х2 = х„ —г2 и Хо1). Поэтому в выражении для
М можно выполнить интегрирование по пространственным угловым
переменным:
оо ________0
i [4ц2 — (? +A)2] M((q-\-k)z) = \ 2яг dr п-х® ^ { <Ве~ш ^ e3i;-с?1*
X 4
И у (О2-Ц2 J 1
0 ГГ _ со ij
х (0 I [/ц (0), J j (х)[ j qi) (18.299а)
2nrdrM'T(u), (18.2996)
где выражение
М;(со) = dte-M^e3^Ч0|[/,(0), Jj(x)}\qi) (18.300)
^ —оо ij
следует понимать как среднее по углам. Функция М’г (со) аналитична в
верхней полуплоскости со. (Поскольку [/(l(0), Jj(x)] =0 при г > 111, то
множитель sin (kr) -ехр (— mi) (t < 0) при со = i со обрезает интеграл;
далее, поскольку — четная функция )Лсо2 — ц2, то при
у со2—ц2
со = ± ц точек ветвления нет.) Если игнорировать возможность особенностей
на бесконечности от опущенных в (18.294) (или в аналогичном выражении с
Т, замененным на В) одновременных членов и возможность особенностей типа
б-функции у запаздывающего коммутатора на световом конусе при
фиксированном г, то тогда для М'т (со) можно за-
1) По соображениям инвариантности матричный элемент является функцией
только переменных <72=ц2, х2 и q-x. Совершая переход в систему покоя q =
0, приходим к указанному заключению.
§ 4. Дисперсионные соотношения
743
писать следующее соотношение Гильберта:
+ СО
М'г (со) = 5 d(il^;p • (18.301)
Чтобы получить дисперсионное соотношение для М, нужно проинтегрировать
соотношение (18.301) по г. Для этого мы разобьем интеграл на две части,
соответствующие | со | > [х и | со | < [х. Ниже мы увидим, что ImJV?)(co)
также содержит множитель sin ]Усо2 — jx2 г. В области I со J < (х корень
]Лв2 — jx2 является мнимым, и, следовательно,
sin ]/со2 —[х2г экспоненциально растет при больших г. Поэтому изменение
порядка интегрирования по г и со' незаконно. (У фотона со = | к |, в
связи с чем при выводе дисперсионных соотношений для рассеяния фотона
вперед такая трудность не возникала, и это делало вывод намного более
простым.) Интегрируя по г с учетом всего сказанного, получаем
схэ Д-со
М (со) = J 2лrdr^ ^ da (18.302а)

Как показал Оме [592, 593], • из Р-инвариантности следует, что мнимая,
или абсорбционная, часть М получается путем замены в формуле (18.297)
множителя Ю (— х) множителем 1/2:
kj)=~ ^*хе~1к-х(0 \ 1^х)]\д1). (18.303)
Несколько более длинное, но более прозрачное доказательство получается,
если в определение (18.300) для М’г (со) вставить сумму 2|п)(п по полной
системе состояний и выполнить интегрирование по времени (при этом мы
добавляем множитель ехр(е/), чтобы придать смысл интегрированию до t = —
со). В системе отсчета, где q = 0, для Ш'г{®) получается следующее
выражение:
м; (со) = 2 2 х
' У Q)2-u2 ^ ^ il> |р„|г
|n> ij
X |(0 | /о (0) | п) (и | J j (0) | qi) [р ——L-j— -1Л6((Х
— РпО + ш) J —
— (0|/3-(0) |n>(n|/o(0) |gi) [р ^ ы - iлб (рп0 + со) ] } . (18.304)
Состояния j п) удобно понимать как полусуммы ин- и аут-состояний. Тогда
7’Р-инвариантность позволяет заключить, что матричные элементы, входящие
в формулу (18.304), действительны.
Отметим также, что множители ехр (± гр„-х) были заменены сред-
ними по углам ехр (+ ?рп , к чему, как мы уже видели
I Рп I г
выше, сводится интегрирование по угловым переменным.
Предыдущая << 1 .. 314 315 316 317 318 319 < 320 > 321 322 323 324 325 326 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed