Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
функции / (я), которая равна нулю вне светового конуса:
/ (д) = \ d2a [? (г), D(r’-g)] =
= 2^2 \ (г)’ -^г^-г(ио-Яо)S'((« -9)2-s)]
V
(18.243)
Это представление будет служить основой для дальнейшего обсуждения.
Представление (18.243) — единственное в том смысле, что если заданы
функция /(g) [для которой / (ж) == 0 при х2<0] и поверхность 2 и если
функция / (д) представима в виде (18.243) с этой поверхностью 2 и с
некоторой функцией F(r) = F(u, s), удовлетворяющей уравнению ? 6F (/•)==
0 и зависящей от i\ и гъ только в комбинации s = г2-f-Н;, то тогда
функция F (г) тождественно равна функции, определяемой согласно (18.226),
т. е.
F(r)= ^ D<~l>(r-g)~f(g)dig. (18.244)
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
731
Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между
функциями / (g) класса С и такими решениями F (г) волнового уравнения в
6-мерном пространстве, которые инвариантны относительно вращений в
плоскости 4-5.
Дальнейшая задача состоит в применении представления (18.243)
[гарантирующего, что '/ (х) = 0 при аг<0] для того, чтобы с помощью
подходящего выбора функции F (и, s) и поверхности 2 получить
представление для функции / (g), обладающей определенными свойствами
сосредоточенности в импульсном пространстве.
Предположим, что /(</) = 0 в области R ^-пространства, которая ограничена
двумя пространственно-подобными поверхностями сц и сг2. Конкретнее, пусть
область R определяется согласно
R: Si(q)<g0<s2(q), (18.245)
где sj и s2 — функции, удовлетворяющие неравенствам
lMq)-si(q')l<|q-q'l. (18.246а)
|s2(q) —s2(q')l <|q —q'l> (18.2466)
которые гарантируют, что поверхности qO — s^q) и ?0 = s2(q) являются
пространственно-подобными. Обозначим через Сд класс функций со свойствами
/(ж) = 0 при а:г<0 и / (д) = 0 при g в R.
Вместе с Дайсоном гиперболоид
(д — и)2 — я = 0 (18.247)
в ^-пространстве будем называть допустимым, если его верхняя пола
проходит не ниже сг2, а нижняя пола—не выше СЦ. Такие гиперболоиды
соответствуют точкам г=(и0, щ, и2, и3, р4, р2), s—p\-\-j)*, лежащим в
некоторой области S г-пространства. Поскольку всякий раз, когда точка г
принадлежит области S, а точка д — области R, функция ^ (г— Ч) — (2я2)-1е
(м0 — д0) б' ((и — д)2 — s) обращается в нуль, то можно ожидать, что для
функций / (д) класса CR справедливо представление
(18.243), где точки г лежат в области S. Очевидно, что всякая функция /
(д), определенная выражением (18.243), где все точки г поверхности 2
лежат только в области S, принадлежит к классу Сд. Дайсон показал, что
верно также и обратное, а именно что для всякой функции / (д) класса Сд
имеется представление, использующее только допустимые гиперболоиды. Для
того чтобы гиперболоид (g — u)2—s — О был допустимым, он не должен
пересекать поверхности д0 = (q) и
<70 = s2(q). Рассмотрим верхнюю полу гиперболоида, т. е. ветвь д0=и0-{-+
V(q_-ru)2 -)-s. Она не будет пересекать поверхность сг2 при некотором
фиксированном значении q, если
S + V"(q — u)2+s>i'2(q), (18.248)
и не будет пересекать сг2 вообще, если
и0 > Max{s2 (q) — Y\q — u)2 +a'} = m (u, s). (18.249)
732
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Аналогично, нижняя пола q0 = н0 — |/)q — u)2 + s не будет пересекать
поверхность щ, если
и0 < Min {st (q) + l/"(q — u)2+s} = M (u, s). (18.250)
q
Поэтому область S в г-пространстве определяется
S: т(u, s)<u0<JVf(u, s). (18.251)
Она ограничена в г-пространстве двумя поверхностями 24 и 22. Поскольку
эти поверхности являются оболочками двух семейств гиперболоидов, то они
также пространственно-подобны. Обозначим через Т дополнение1) области S,
т. е. такое множество точек в г-пространстве, которое определяется
согласно
Т: М (u, s) < и0 < тп (и, s). (18.252)
Дайсон доказал [204], что для того, чтобы выражение (18.243) представляло
функцию / (q) класса CR,' функция F (г) должна равняться нулю в каждой
точке г области Т.
Пусть в (18.243) в качестве 2 выбрана пространственно-подобная
поверхность, расположенная между поверхностями 2t и 22, например
поверхность
ий=-~^тп{и, s) +Л/(u, s) J . (18.253)
Согласно (18.251) и (18.252), каждая точка такой поверхности 2
принадлежит либо области S, либо области Т. Функция F (г) равна нулю-в
каждой точке г области Т. Поэтому функция / (q) будет принадлежать к
классу Сд тогда и только тогда, когда она представима (и притом
единственным образом) в виде
7(9)= §d20[?(r), -А-Я(г-?)] , (18.254)
Z(S)
где интеграл распространен только по тем точкам г пространственноподобной
поверхности 2, которые принадлежат области S, причем область S определена
формулами (18.249), (18.250) и (18.251). Если не заботиться о
единственности представления, т. е. допускать, что, например, две
различные функции F (г) могут приводить к одной и той же функции f(q), и
это оправдано в большинстве приложений, то тогда ответом к общей задаче,
поставленной в начале настоящего параграфа, служит следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы функция / (q) была равна нулю в области
