Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
744
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Таким образом, мнимую часть М'г(со) составляют члены с 6-функциями:
Ттп 1\Г (cnV - л sin Т"«2-р2г v V о sinlPn'r Im М г И - л —у=—- 2' 2j ^ -
|р^г- X
! п > i j
x [(О I /о (0) I n) (n I /, (0) I gi) 6 (p - pn0 + со) —
- (0 | Jj (0) j n) (n | /о (0) | gj> 6 (pn0 + со)]. (18.305)
Состояния |n), вносящие вклад в ImM'r(co), должны иметь равным нулю
барионное квантовое число (число тяжелых частиц минус число тяжелых
античастиц). Наинизшие состояния, которые могут вносить вклад, —
одномезонные состояния с р„0>р. При описании нашей системы мы
предполагаем, что четность является хорошим квантовым числом и что мезоны
являются псевдоскалярными. Учитывая это в первой группе членов в (18.305)
и наличие 6-функций во второй, приходим к заключению, что
Im М'г (со) = 0 при | со | < (л. (18.306)
Следовательно, доставляющая беспокойство нефизическая область | со | < р
на самом деле не даст вклада в дисперсионный интеграл (18.3026). Кроме
того, если выполнить интегрирование по г, то сохранение импульса оставит
во второй группе членов в (18.305) (членов вида (0 | Jj (0) | п) (п | /о
(0) | qi)) только вклад от состояний с импульсом —к. Для этих состояний
должно иметь место р„ = к2 = со2— р2, а с учетом
6-функции 6(р0„ + со) и pln = (о2. Таким образом, масса этих
состояний
равна р, и, следовательно, они одномезонные. Однако такие состояния
вклада не дают, так как
(01 Jj (0) | п) = (? + р2) (0 | cpj (х) | п)
= (? -ь IA2) (0 I 1п (а:) I та) х=о = о, (18.307)
когда j п) — одномезонное состояние.
Итак, нам нужно рассматривали лишь ту часть ImM)(co), которая дается
выражением f \ n
т л л / \ sin l/co2 — р2 г Vj \гУ sijn I р„ I г
I-M, (?») = *
х (0 I/o (0) I п){п \Jj (0) I qi) 6 (р — р„о + ®) (18.308)
и которая обладает свойством
\тМТ (со) = 0 (со<2р), (18.309)
поскольку по соображениям сохранения четности наинизшими по массе
состояниями, вносящими вклад в сумму (18.308), являются двухмезонные
состояния. Таким образом, дисперсионное соотношение записывается в виде
со
М (со) = — [ dco' . (18.310)
' ' л i со —со —te 2Ц
Возвращаясь к инвариантной переменной (q 4- А)2 = 2р2 2ро), мы можем
переписать дисперсионное соотношение для М в виде
м((,+к)’)-± . {18.зн>
§ 4. Дисперсионные соотношения 745
При записи соотношения (18.311) мы предположили, что у величины М нет
полюса при (<?-)-/с)2 = 4ц2. Если отброшенные раньше члены таковы, _
,1m М (ш) А .
что требуется одно вычитание (т. е. --------'ПРИ ю—>'°°)' то Дис~
персионное соотношение с одним вычитанием запишется
СО
м «,+т _ м (0) + 4Н 5 К . (,8.312)
Дисперсионное соотношение (18.312) выражает аналитические свойства форм-
фактора мезона, которые вытекают из причинности и спектральных условий.
Важно подчеркнуть, что теория дисперсионных соотношений позволяет
сформулировать приближенный метод вычисления M((q-\-k)2). Мы видели, что
абсорбционная часть Im М связана с величиной
Ац = л 2 (01/„ (0) I п) (п I Jj (0) I qi) б (pn—k — q), (18.313)
где наинизшими по массе состояниями | п), которые могут вносить вклад,
являются двух-я-мезонные состояния. Предположим, что мы ограничились
этими двух-я-мезонными промежуточными состояниями. Тогда правая часть
формулы (18.313) будет равна сумме
2 <0|/ц(0)|д'?', k'j')(q'i\ k'j' \ J} (0) | qi) б (q'
+ к' - к - q),
le'i'i h'j’>
которая снова содержит М^. Таким образом, в этом приближении соотношение
(18.312) превращается- в интегральное уравнение для формфактора M((q
к)2), ядро которого (q'i', k'j' \ J j (0) | qi) пропорционально амплитуде
рассеяния я-мезонов на я-мезонах и может быть выражено через фазы я — я-
рассеяния (см. работу Федербуша, Голдбергера и Трай-мана [232]).
Аналогичные попытки были сделаны и для вывода дисперсионных соотношений
для форм-факторов нуклона Flt 2, которые в наинизшем порядке по
электрическому заряду определяются выражением [вспомним соотношение
(17.266)]
<Р' IU (°) I 7>> = ]/“ 0*') ^ Yb + F2 (72) aBv (Р' - 7>)v] “ (Р)
(q = p’-p), (18.314)
р р
где | р’) и | р) — однонуклонные состояния. Если рассматривать функции
Fit 2 как операторы в пространстве изотопического спина нуклона,
то их можно разбить на изоскалярную и изовекторную части:
Fi = Ff + raFY, (18.315а)
F2 = FI + x3FY. (18.3156)
Мы уже видели, что
/?f(0) = /7(0) = -|- , (18.316а)
Ef(0) = —pt-A— , (18.3166)
F\(0) = , (18.316b)
746
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где е — заряд протона, а и Дцр — статические аномальные магнитные моменты
нейтрона и протона.
Строгий вывод дисперсионных соотношений
где
F?
<v
1 ? Qs> v (о2)
= \ (18.318)
mS, V
q4 (о2) = Im^! (о2), (18.319a)
q2 (o2) = Im/’2(o2) (18.3196)
ml = (3p)2, m2v = ( 2p)2, (18.319b)
является намного более трудным, чем в случае форм-фактора мезона. Эта
задача связана с проблемой строгого доказательства дисперсионных
соотношений для вершинной функции (см. работу Оме и Тэйлора [596]).
Дисперсионные соотношения (18.317) и (18.318) можно получить, только
