Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
~1» («> ?= \ • ' Im «»> “• <18-2и»
а если использовать (18.255) — то к представлению
со
(18.270)
0
Если интеграл (18.270) существует, т. е. если Ф достаточно хорошо ведет
себя по х2, то выражение (18.270) и дает нужное представление для /я (q).
Однако, вообще говоря, произведение Q(x)f(x) не обязано вести себя хорошо
(поскольку это произведение двух обобщенных функций), и для получения
сходящегося интеграла, возможно, потребуется разделить Ф(ы, х2) на
полином некоторой конечной (скажем, п-й) степени по х2. В этом случае
функция /д (q) будет определена только с точностью до произвольного
полинома и-й степени по х2 (см. статью Йоста и Лемана [405]).
§ 4. Дисперсионные соотношения
Главная задача аксиоматического подхода в квантовой теории поля
заключается в получении наблюдаемых следствий из условия локальности, т.
е. из предположения, что локальные полевые наблюдаемые коммутируют (или
антикоммутируют) при пространственно-подобном разделении. В более, общем
плане проблема состоит в том, чтобы, основываясь только на общих
аксиомах, получить спектральные представления для всех наблюдаемых
величин (таких, как элементы матрицы рассеяния) и непосредственно
сопоставить эти представления и их следствия с экспериментальными
данными. В настоящем параграфе мы прежде всего займемся энергетической
зависимостью двухчастичной амплитуды рассеяния. Хотя Манделстам [531] и
предложил некоторое представление, которое явным образом выражает
свойства аналитичности амплитуды рассеяния как функции инвариантных
переменных (по сути дела, энергии и передачи импульса), но это
представление все еще не доказано на основании общих аксиом. (Правда,
Иден [213 — 215] доказал,
736
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
что при некоторых предположениях это представление справедливо в каждом
порядке теории возмущений1).) Однако еще в 1956 г. Боголюбов и другие
показали, что можно дать доказательство аналитичности амплитуды рассеяния
как функции энергии при фиксированном значении передачи импульса и что
можно строго вывести дисперсионные соотношения, связывающие
действительную и мнимую части амплитуды рассеяния (при фиксированной
передаче импульса). Эти дисперсионные соотношения были применены в я-
мезонной физике для феноменологического и полуфеноменологического анализа
экспериментальных данных.
Своим возникновением теория дисперсионных соотношений в первую очередь
обязана работам Голдбергера и его сотрудников. Голдбергер первым дал
эвристическое доказательство дисперсионных соотношений для бозон-
фермионного рассеяния [322] и сравнил эти дисперсионные соотпошенйя с
экспериментальными данными по рассеянию я-мезонов на нуцдонах [323]. Ему
также принадлежит заслуга применения метода диспетюионных соотношений для
вычисления характеристик систем сильно взаткщрйс/гвующих частиц
(например, форм-фактора нуклона, форм-факторов для/р-распада, времени
жизни я°-мезона и т. д.).
Цкралце проиллюстрируем сделанные замечания на примере вывода
аналитических свойств амплитуды рассеяния фотона вперед. Именно для этого
процесса дисперсионные соотношения впервые были выведены при помощи
методов теории поля (работа Гелл-Манна, Голдбергера и Тирринга [305];
обзор дисперсионных соотношений Крамерса — Кронига см. в работах Толла
[780, 781]).
В § 5 гл. 17 получена замкнутая форма нужной нам амплитуды рассеяния.
Амплитуда для рассеяния вперед, (т. е. при к' = к, р' = р) определяется
величиной
TVil (k)~i^ ^хе1,1Х{рз' \ {[/ц (х), ]\ (0)] 0 (х) — 6 (я0) [/^ (х), Ач
(0)]}|ps) =
= rvil(fc; s's), (18.271а)
а именно для процесса рассеяния фотона, имеющего начальное состояние
поляризации eW (к) и переходящего в состояние поляризации e(V) (к) [ejM
(к) № — (к) М* = 0], в то время как рассеиватель (протон) пере-
ходит из состояния j ps) в состояние j ps'), элемент A-матрицы равен
е(b')TiiV (к; s's) e<f\ По поводу представления (18.271а) для амплитуды
рассеяния вперед следует отметить два обстоятельства. Во-первых, вся
зависимость от к содержится только в экспоненте
eih.x==eia(i-e-x); е = i , (18.2716)
I k I
и, во-вторых, величина 0 (х) f/ц (х), /v(0)] равна нулю не только при я0
< 0, но на основании требования причинности также и при х2 < 0. Таким
образом, TI1V(со) есть фурье-образ функции, равной нулю вне
светового конуса будущего, и поэтому он обладает определенными
свойствами аналитичности как функция комплексной переменной
(О — (Щ -[- 10)2-
Здесь для вычисления величин, входящих в формулу (18.271а), удобно
выбрать определенную лоренцеву систему отсчета. Это не ведет
!) Доказательство Идена было опровергнуто Наканиши [908]. До сих пор
представление Маыделстама не доказано даже в теории возмущений. —Прим.
ред.
§ 4. Дисперсионные соотношения
737
к потере общности, так как фактически с точностью до кинематических
множителей Т является инвариантом. В качестве системы отсчета выберем
лабораторную систему, в которой р = 0. Предположим, что состояние | ps)
