Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 316

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 310 311 312 313 314 315 < 316 > 317 318 319 320 321 322 .. 373 >> Следующая

(q) <q0<s2 (q)
и имела фурье-образ f{x), равный нулю вне светового конуса, необ-
J) На самом деле, по-видимому, область Т нельзя называть дополнением
области S; область S состоит из дважды допустимых гиперболоидов (18.247),
а область Т состоит из дважды недопустимых гиперболоидов (т. е. из таких,
у которых верхняя пола проходит ниже поверхности сг2, а нижняя — выше
поверхности сф. Но в г-пространстве существуют также области, заполняемые
гиперболоидами, у которых недопустима только одна пола [928].— Прим. ред.
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
733
ходимо и достаточно, чтобы для нее существовало представление
СО
/ (q) = ^ d4M ^ dsE (q0 — и0) б [(д — и)2 — s] Ф (и, s), (18.255)
о
где Ф (и, s) — функция, равная нулю вне области S, определяемой согласно
(18.249), (18.250) и (18.251), но в остальном произвольная.
Другими словами, если в представление (18.255) подставить функцию Ф(и,
.?), равную нулю при тех и, s, при которых равенству (u — q)2 = s
удовлетворяет хотя бы один вектор q из области R, но в остальном
произвольную, то тогда формула (18.255) воспроизведет функцию / (q) с
нужными свойствами сосредоточенности в импульсном и в конфигурационном
пространствах. Представление (18.255) можно понять более глубоко, если с
помощью преобразования Фурье записать его в лг-пространстве:
СО
f(x) = ^ dsk(x; s)0(x; s), (18.256)
о
где Ф (х\ s) — фурье-образ функции Ф(и, s) по и, а А (х; s) — нечетная
инвариантная функция, соответствующая массе |5j и равная нулю при
х2 < 0 и ?—^ б (а;2) + '^ ПРИ хо ^ Iх I- Формула (18.256) представ-
ляет разложение функции / (х) по функциям А (х\ s). (Система функций А
(х; s) является; полной во времени-подобном направлении при
интегрировании по массе s.) Такое разложение автоматически обеспечивает
свойство / (х) = 0 при х2 < 0.
В частном случае, когда пространственно-подобные поверхности а, и а2
определены согласно (18.220), т. е.
(q) = а — jCq2 _j- т\, (18.257а)
s2(q)= -а + V q2+m\, (18.2576)
область S определяется при помощи неравенств (18.251), где
тп(и, s) — Мах a — ]/(q — u)2 + sj, (18.258)
ч
M (a, s) = Min [a — |^(q — u)2 + 5]. (18.259)
q
Выражение в фигурных скобках в (18.258) имеет экстремум при
том
значении q, при котором обращается в нуль градиент по q.
Это происходит, когда 4
4 = ^, (18.260)
где Y~s обозначен при помощи х:
x = ]/s> 0. (18.261)
734
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Если mi к, то вектор q параллелен вектору и и тогда значению (18.260)
соответствует максимум; следовательно,
т(и, к2) = |/u2+ (mi — х)2 — а при mt > х > 0. (18.262)
Если х > ти то значению (18.260) соответствует минимум. Никаких других
экстремальных точек при конечных значениях q нет. Второй экстремум
выражения в фигурных скобках в (18.258) достигается при q = 7.u, когда X—
> со. В этом пределе выражение в скобках в (18.258) принимает значение |
и | — а, которое при х > nil является максимумом. Таким образом,
т(и, х2) = | и | — а при х > ;nt. (18.263)
Если провести аналогичные вычисления минимума в (18.259), то придем к
выводу, что при m,i < т2 область S определяется неравенствами
]/u2-j- (nil — х)2— а < и,0 < а — У и2-)- (т2 — х)2 при 0<х<тл,,
| и | — а< и0 < а — ]/и2 + (т2 — х)2 при mt < х < т2,
| та | — а<и0<а — j и | при х > т2. (18.264)
Более полезна такая запись этих неравенств, определяющих область S,
когда пределы интегрирования по и0 и |и| не зависят от х,
J и | — а < н0 < а — | и |,
М < а,
х>Мах{0, m2 — Y(u0 — a)2 — u2, nil— ]/(н0 + а)2 — и2}. (18.265)
Неравенства (18.265), характеризующие область S, легче всего получить1),'
находя максимальное значение s = х2 при фиксированном значении вектора
(и0, и) таким образом, чтобы гиперболоид (q — u)2 = s только касался
пространственно-подобных поверхностей g0=st(q) и g0 = s2(q). В случае
функций Si и s2, задаваемых формулами (18.257а) и (18.2576), отыскивая
экстремум выражения (q— и)2-\-Х[(д0 —a)2— q2 — ml] (X — множитель
Лагранжа), находим
Имакс. = Мах \ш2 — У(и0 — а)2 — и2, 0) при )ы0| + |ц|<а,
= со при |ы0| + |и|>а, (18.266)
причем F (г) = 0 в области, где х < хмакс. Аналогичный результат
получается и для s2, однако теперь функция F (г) отлична от нуля при <
Хмакс- Отсюда и следуют неравенства (18.265). Очевидно, что в лореяц-
х) Вместо этого читатель может очень легко проверить, что неравенства
(18.264) и (18.265) выводятся друг из друга и, следовательно,
эквивалентны.— Прим. ред.
§ 4. Дисперсионные соотношения
735
инвариантной форме это определение области S записывается в виде
(-4^ + “)6L+’
х>Мах{о, т,— У (J^r~ + иУ , ~ “)*} > (18.267)
где через L+ обозначен световой конус будущего.
Представление запаздывающего произведения, т. е. функции
fR(x) = B(x)f(x), (18.268)
где / (х) = 0 при х2 < 0 и / (д) = 0 при q в R, формально можно получить,
используя представление (18.70) для 0 (х) и поступая дальше так же, как
при выводе представления (18.75). Этот формальный путь приводит к
следующему представлению для фурье-образа /д (q) функции /н (х):
Предыдущая << 1 .. 310 311 312 313 314 315 < 316 > 317 318 319 320 321 322 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed