Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 325

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 319 320 321 322 323 324 < 325 > 326 327 328 329 330 331 .. 373 >> Следующая

§ 4. Дисперсионные соотношения
753
тогда, как отмечалось выше, величина А = ImR дается формулой (18.350), в
то время как
ReR = D=^ d^xelk+h,)'^ г(х)(р'\ [/(у), /(—(18-352)
Величина l\eR = D является дисперсивной частью амплитуды, поскольку если
вставить в (18.352) сумму У | п) (п\ по полной системе состояний и
выполнить интегрирование по х, то в D внесут вклад виртуальные процессы,
не сохраняющие 4-импульс. С другой стороны, абсорбционная часть A = Im.R
является суммой по состояниям, переход в которые из начальных состояний
совершается через реальные процессы, в которых энергия сохраняется.
Величина М (со, Л2, ?) может быть преобразована при помощи
асимптотических условий. Вставим В правую часть сумму 2 I Pna)inin(,Pna|
по полной системе состояний | pna)in и, воспользовавшись трансляционной
инвариантностью, выполним интегрирование по х. В результате получим
М (а>, Л2, ?) = (2л)4 2 Ь(Рп — Р — A)(p'|/(0)|Bna)min(pna|/(0)|p) =
= (2я)42(//|/(0)|р + А', a )iniD(p + k, а | / (0) | р). (18.353)
a
Пусть теперь т|дп (р')—оператор уничтояшния для приходящего нуклона с
импульсом р', тогда
<Р' \ / (0) I Р + A, a)in = (0 | ipin (р') j (0) | р + к, a)in =
= (0|№n(p')> /(°)] |Р + А, a)in при (р + к — р')2 = к'- < т\, (18.3546)
где ttii — масса иаинизшего по массе состояния с полным импульсом к', для
которого еще (0 | / (0) j А') Ф 0. (В псевдоскалярной мезонной теории mt
было бы равно Зр.) При получении (18.3546) мы учли, что оператор 1|лп
{р') уменьшает импульс состояния на р' так, что состояние ?фш (р') | Р +
A, a)in есть состояние с импульсом р+к — р', который в силу закона
сохранения энергии равен к’. Аналогично можно записать второй множитель в
(18.353):
?1п(р + к, а |/(0) | р) =т(р + A, a | /(0) г|)*п (р) | 0) =
= т(р + А, а| [/(0), г|>*п(р)] |0) при к2 < т\. (18.355)
Воспользуемся теперь рекуррентной формулой (18.154), которая, [будучи
обобщена на случай двух полей, имеет вид
№п(в), >(0)]=^^ ^d4a:e-iP'-a:0(-a;)[/(O),/(a;)], ' (18.356)
где /(а:) —источник в уравнении движения для поля ф: (? + М2)ф = /. 48 с.
Швебер
754
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Тогда при к2, к'2 < т2 получаем окончательно
М (со, Л2, ?) = 2я Jd4®! J d4a:2e_i(fe'“p,)'^+i(ft~P)'^"x X 2(0|^(/(^)/(—
x))b + *.a>inX
а
Х1п(р + А,а|д(/(^-)/* (—f))|0>. (18.357)
Представление (18.357) для Imi? по сравнению с представлением (18.3316)
для R содержит дополнительную полезную информацию о том, является ли
взаимодействие полей ф и ср причинным, т. е. являются ли поля ф и ф
локальными по отношению друг к другу. Эта информация не используется в
выражении (18.331), где о наличии нуклонов свидетельствуют только векторы
состояния | /?), | р’). Свойство взаимодействия быть локальным или нет
выражается при помощи соответствующего свойства коммутаторов
гейзенберговских полей. Чтобы воспользоваться такой информацией,
необходимо перейти от описания частиц при помощи векторов состояний к
описанию их при помощи операторов. Разумеется, это свойство учитывалось
бы, если бы использовалось, выражение
2ш6(4> (р-\-к — р' — к') R = J) dix § d*x' ^ d*y ^ (Ry' x
X e-i{h-x+p-v-h'-x’-p’ -у’) Кх'К^1- (0 I R (ф (x) ф (x') Ф (У) Ф* (у')) |
0).
( (18.358)
Формула )18.350), )(18.357) для 1тЛ(ш, Л2, ?) выражает то, что называют
«обобнщнаым^условием унитарности»4). Чтобы убедиться в этом, вспомним,
что если
S = l + iR, (18.359)
in(w | R | m)in = 2лб<4) (pn — pm) R (n; m), (18.360).
то условие унитарности S*S = SS* = 1 представляется в виде
i (R* — R) + R*R = 0. (18.361)
В частности, для амплитуды упругого рассеяния соотношение (18.361)
записывается в виде
in(p'k' | R* — R | pk)in = i 2 in(p'k’ | R* | n) (n | R | pk)ia,
(18.362)
|n>
или, что то же,
R(pk\ p'k') — R (p'k') pk) = 2m 2 6 (p' + k' — pn) R (n\ p'k')R(n\ pk).
I ny
(18.363)
В случае когерентного рассеяния вперед, когда р' — р и к! = к, соотно-
4) Сравните формулу (18.348) вместе с формулами (18.350) и (18.357) с
обобщением соотношения (18.170) на случай двух полей. Отметим попутно,
что связь. (18.359) между R и S отличается знаком минус от данной в гл.
10.
§ 4. Дисперсионные соотношения
755
шение (18.363) сводится к оптической теореме
Im R(pk, рк) = ~~~а. (18.364)
Далее отметим, что если бы мы выполнили однократное приведение амплитуды
рассеяния ont(p'k'\ рк)in, то получили бы
2я6 (р + к — р' — к') R (р'к'-, рк) =
= -~у-2 § ^хе-ш-хКхои1(р'к'\ц(х)\р) =
= (2я)5/2 out(p'k' \j(0)\p)b(p' + k' — k — р). (18.365)
И вообще амплитуда любого процесса р+к—>п записывается в виде b(pn-p-k)R
(п; рк) = (2л)3/2 out(ra | / (0) | р) 6 (рп — р — к). (18.366)
С помощью формулы (18.366), пользуясь трансляционной инвариантностью для
проведения интегрирования по х, можно переписать формулу
(18.348) в виде
R(p’k'; рк) —R(pk\ р'к') =
= 2ni ^ {д (р' + к' — рп) R (p'k'; п) R (рк\ п) —
|п>
— 6 (p — k' — pn)R(p', — к\ n)R(p, —к'\п)}. (18.367)
Очевидно, что первый член в правой части формулы (18.367) совпадает с
правой частью соотношения (18.363). Рассмотрим поэтому вклад второго
Предыдущая << 1 .. 319 320 321 322 323 324 < 325 > 326 327 328 329 330 331 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed