Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Это выражение и будет использоваться в последующем исследовании.
В силу релятивистской инвариантности амплитуда R является инвариантной
функцией инвариантных скалярных произведений кинематических переменных р,
р', к и к', характеризующих рассеяние. Поскольку величина R определена
только при р-\- к — р' + к', то только три из этих четырех векторов
являются линейно независимыми. В качестве независимых можно принять pi к
и т/ (к' = р -f к — р'). Таким образом, имеется шесть различных
скаляшыупроизведений: р-к, р-р , к-р', р2, к2, р'2. Равенством к'2 = (к
4- р — р')2 ^удобно ) воспользоваться, чтобы выразить скалярное
произведение к? р' через к'2 и другие пять скалярных произведений, так
что в качестве шести скалярных произведений можно взять к-р, р-р', к2,
к'2, р2 и р'2. Поскольку в физических приложениях р2 = р'2 и к2 —к’2, то
число независимых скалярных произведений равно четырем. В
действительности амплитуда R будет интересовать нас только при
фиксированном значении р2 — р’2, взятом на массовой поверхности, т. о.
при р2 = р'2 — М2. Следует также отметить, что выражение (18.3316)
определяет R при любых значениях векторов к, к' (эти переменные входят
только в экспоненту и им можно придавать какие угодно значения). В
дальнейшем будет удобно считать к и к' произвольными действительными
векторами, на которые наложены только ограничения к -f р = к' р', р2 =
М2, р'2 = М2 и k2 = k'2 — t,. Амплитуда рассеяния
получается при значении ? = ц2. Таким образом, останется три линейно
независимых скалярных произведения, а именно к-p, р-р' и к2 —к'21). Можно
воспользоваться и другим набором переменных:
W2 = (p + k)2=,(p + k)-(p' + k'), (18.337а)
А2= — У = - (^)2 (18.3376)
и
? = А2 = к'2. (18.337b)
Попутно отмстим, что если ?'2 = /е2, то величина —Р')=
§ 4. Дисперсионные соотношения
751
При случае мы будем использовать также переменные
m = (18.338)
2 V(p + p')2
И
= (18339)
Хотя со выражается через И72, Д2 и ?, однако удобно
сохранить для
нее особое обозначение. Переменная со связана с
другими переменными
следующим образом. Поскольку .
так что
и аналогично
то отсюда
(Р + Р')2 = (Р- Р')2 + ^Р-Р', (18.340)
2р-р' = 4Д2 + 2ЛР, (18.341а)
2к-к' = 4Д2 + 2?, (18.3416)
(р + р')2 = 4(№ + М2), (18.342а)
(А + Л')2 = 4(Д2 + е), (18.3426)
и, таким образом, получаем
И72 - (p + k)-(p + k) = j(p + к + р' + к’)-(р+к + р' + к') =
= д {Р Л- р') • (к-\- к ) ~г {р ^{- р’)'2' -г (к ^{- к')21=
= 2ю]/Д2+М2 + 2Д2 + ЛР-К. ' (18.343)
Функция R, определенная с помощью (18.3316), может теперь рассматриваться
как функция переменных со, Д2 и ?, причем амплитуда рассеяния дается
R(со, Д2; ? = р2). Нужно отметить, что величина R инвариантна
относительно перестановки р —р', р' —> р, поскольку относительно нее
инвариантны переменные со и Д2. Легко выяснить физический смысл введенных
переменных. Например, в системе центра масс р = — к, р' = — к' и W = р0 +
к0 и, следовательно, W есть полная энергия в системе центра масс. В
системе центра масс p\ — k\ = M2 — t„ так что „2 (Ш2+Д/2 — ?)2—
4ilfW2_
~ W2
- КР0+ *о)2 + (Ро + *о) (ро - *о) Р - 4М* {Ро + М2 =
4(/>о+*о)2
= р2—М2 = р2, (18.344)
и, таким образом, переменная К есть импульс частицы, а величина
2Д2
1 — ~ связана с углом рассеяния 0:
752
Гл. -18. Аксиоматическая формулировка
Для физического процесса рассеяния область изменения этих переменных есть
О < Д2 < оо
(0>1/ДМ^2 К2 > Д2
физическая область,
(18.346)
что соответствует положительной энергии частиц и действительным углам
рассеяния.
Как указывалось выше, наша цель заключается в выяснении свойств
аналитичности амплитуды R(to, Д2, ? = ц2) как функции со, Д2 и ?. Эти
свойства будут выяснены при помощи представления
Р) >
(18.347)
где переменная ? предполагается произвольной. Кроме этого выражения для
R, нам также понадобится выражение для Im R, содержащее информацию,
связанную с унитарностью. Нужное выражение имеет вид
Im R (со, Д2, ?)=-^-(/?-/?) =
(18.348)
где был использован тот ф; относительно перестановки р Определим
вещественную вели
М( ш, Д2, d*xe °l+k ) 2 (p'[/l
величина R (ю, Д2, Q инвариантна и) Р' Р и что 6 (.т) + 0 (— ж) = 1
)/(-|)|р} = М(со,Д2, Q,
(18.349)
где действительные векторы к в. к’ ограничены лишь соотношениями А: + р =
р' + А', А2 = А'2 = ?. Мнимая часть Im К выражается через величину М (со,
Д2, р следующим образом:
1
Im/? (to, Д2, p=-i[M((o, Д2, Q-M(-(о, Д2, ?)], = — Im/? ( — со, Д2, Q.
(18.350а)
(18.3506)
Это свойство нечетности Im/? как функции со есть следствие предположения
о нейтральном и скалярном характере частиц, описываемых полем Ф (х)
(скалярным в пространстве-времени п в пространстве изотопического спина).
Если бы частицы имели еще какие-либо дополнительные степени свободы, то в
общем случае два члена коммутатора относились бы к различным процессам,
но это не изменило бы существенным образом математическую сторону дела.
Попутно заметим, что если записать
R = Re /? + г Im/? =
= D + iA, (18.351)
