Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
обозначаться q, а фурье-образ функции F [z) — через F (r):
= <18-225)
Подставляя в формулу (18.225) выражение для F (z) (18.2226), получаем ^ ^
= ~(Щё~ $ d6zeir-z& (z2) ^ d^qe-1 «-z~f (q) =
= d6ze4r~q)'z6(z2)7(v) di(J =
= ^D^(r-q)J(q)diq, (18.226)
где
ZK‘> (r) == (rs) = J e_ir'z 6 (z2) d6z = (18.227a)
= (18.2276)
(символ P обозначает главное значение) есть четная инвариантная
функция в пространстве шести измерений. Из (18.2276) и
(18.226) оконча-
тельно находим
F (г) = — ^ dia ^ ^ — -1- С dia ^ ^ —
() я* J й q [(r_$)s]S - яз J dq[{u-q)S_S]2
= F(u, s), (18.228)
728
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где r = (r0, г2. r3, ri,^rs) = (u0, щ, и2, и3, ри р2), a s = p\-^-p\.
Отсюда видно, нто фурье-образ F (г) функции F (z) = 4л/ (х) б (z2),
сосредоточенной в пространстве z на световом конусе, инвариантен
относительно вращений в плоскости rt-r5 (т. е. зависит от г4 и г5 только
через s = rl-\- rl). Далее, ZE1) (г) удовлетворяет волновому уравнению в
/--пространстве:
? eD(‘>(r) = 0, (18.229а)
?в =-5------S-5- (18.2296)
0 3=1 J
[что явно видно из представления (18.227а)]. Представление (18.226)
показывает, что F (г) также удовлетворяет волновому уравнению в
пространстве шести измерений:
? <^И = 0. (18.230)
Наконец, заметим, что если функция / (х) равна нулю при ж2<0, то тогда
образ / (q) является граничным значением функции F (г) на плоскости s =
0, т. е. F (д) = / (д).
Д оказателъство:
^ (9) =есч-Чя&(х2-y2)f(x)d*z (18.231а)
= W • 4 S eiq'4nQ ^ * № d'x- (18.2316)
Выражение (18.2316) равно / (д) тогда и только тогда, когда функция
/ (х) равна нулю при х2 < 0. Таким образом, решения интегрального
уравнения
Т(Я)=['1\1ДД^г (18.232)
образуют класс С функций, фуръе-образы которых / (х) равны нулю при z2<0.
Итак, мы показали, что для того, чтобы / (х) равнялась нулю вне светового
конуса, необходимо, чтобы фурье-образ f(g) был граничным значением,
которое на плоскости s = 0 принимает решение F(q, s) волнового уравнения
? вЁ(/’) = 0, инвариантно относительно вращений в Плоскости 4-5. Следует
отметить, что плоскость s = 0 является еремени-по-добной поверхностью,
так что граничное значение, принимаемое решением гиперболического
уравнения [J6F (г) = 0 на этой поверхности, не является произвольной
функцией.
Обратно, рассмотрим функцию F (г), удовлетворяющую волновому уравнению
ШЬЕ (/-) = () и инвариантную относительно вращений в плоскости 4-5. Ее
фурье-образ
F (z) = J e~iT- FF {г) dar (18.233)
обладает следующими свойствами. Поскольку ?аЕ(/-) = 0, то E(z) = = б (z2)
G (z), т. е. F (z) сосредоточена на световом конусе в простран-
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
729
стве z. Кроме того, благодаря предполагаемой симметрии F (г) в плоскости
4-5
F (z) = ^ e~iT'zF (и, | р |) d6r =
оо 2я
= ^ d*ue~iux jj dp р ^ dQeip^y'cosQF(а, /?) = о о
со
= 2я ^ d4w e~iu x jj dsJ0 (]/s ] у |) F (и, s).
(18.234)
Поскольку функция
оо
Л(/^|у|) = 2 (18.235)
(п!)2
п=0
зависит только от у2, то отсюда следует, что F (z) является функцией
только х и у2, т. е.
F(z) = b (z2) G, (ж, г/2) = б (х2 - г/2) Gt (ж, г/2). (.18.236)
А поскольку функция F (z) сосредоточена на световом конусе у2 =
х2,
то она должна иметь вид
F{z) = b (х2 - г/2) f(x) = b (z2) f (х) (18.237)
[однако f (х) еще не обязана равняться нулю при ж2<0]. Если же
даль-
ше потребовать, чтобы F(g)=f(g), тогда функция / (х) вне светового конуса
будет равна нулю.
Таким образом, для того чтобы функция { (х) была равна нулю вне светового
конуса, необходимо и достаточно, чтобы ее фурье-образ f (д) был граничным
значением, которое на поверхности s =Ю принимает решение уравнения ? е-Р
(с) = 0, инвариантное относительно вращений в плоскости 4-5. Решение
волнового уравнения OeF (г) = 0 можно записать через заданные на
пространственно-подобной поверхности значения самого решения и его
нормальной производной. Для этого нужна сингулярная функция D(r),
удовлетворяющая однородному волновому уравнению в пространстве шести
измерений
?„/?(/•) = 0 (18:238)
? начальным условиям
D (г0 = 0, /д, . . . гъ) = 0, (18.239а)
дР{г)
дгп
Го=0=П 6 И- (18.2396)
г—1
730
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
В явном виде
В ^ = S d*ze~lT'Ze (z) 6 (*2)
оо
— 2i г 1
(2я)3 V 6: 1
2я2
е(г0)6'(г2). (18.240)
Если 2 — пространственно-подобная поверхность, на которой заданы
начальные данные, а именно F (г') и ?F г-^ па (г') (па— нормаль к поверх-
"га
ности 2), то соответствующее решение волнового уравнения ?б^’(;')=0
записывается в виде
?(/•) = $ d2a[F(r’), —~т~ D (г — г)] , (18.241)
2 “
где
[~F,-^d]=F^—D^, (18.242)
l- ora J or а дга
a dH,a — элемент поверхности (d~La есть 6-вектор, нормальный к
пространственно-подобной поверхности 2). Решение F(r), обладающее нужными
свойствами симметрии, можно получить при помощи подходящего выбора в
формуле (18.241) поверхности 2 и начальных значений. Полагая F(g)=f(g),
получаем следующее интегральное представление для фурье-образа / (д)
