Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
когда -^->|/2 — 1, т. е. лишь при этом условии доказывается аналитичность
форм-факторов по переменной q2 в плоскости с разрезом от (2ц)2 до со. С
другой стороны, Намбу [573] показал, что каждый член ряда теории
возмущений является аналитичным в этой плоскости с разрезом. Однако для
того чтобы на основании этого результата делать заключения, не зависящие
от теории возмущений, необходимо доказать равномерную сходимость ряда
теории возмущений.
В практических целях часто те или иные дисперсионные соотношения,
например соотношения (18.317) и (18?ЭТ8)7чи)инимают без доказательства,
причем мнимую часть записывают цак сумму вкладов от реальных
промежуточных состояний [125, 232, 59]ЛВатем пытаются вычислить вклады от
наинизших по массе состояний с надеждой, что другие состояния
несущественны (обзор проблемы форм-факторов нуклона см. в книге Дрелла и
Захариазена [188]).
Как указывалось ранее, главная цель настоящего параграфа состоит в
выяснении аналитических свойств двухчастичной амплитуды рассеяния,
которые позволили бы записать дисперсионные соотношения для этой
амплитуды. Теперь мы вернемся к проблеме доказательства этих
дисперсионных соотношений.
Перестановочные соотношения между ин- и аут-операторами, выведенные в § 2
настоящей главы с помощью асимптотических условий, позволяют дать простой
вывод замкнутого выражения для амплитуды упругого рассеяния двух частиц.
Сперва амплитуду рассеяния запишем следующим образом:
out{Р к | рк)in = out{Р ) flout (к ) Ain (^0 I Р)in =
— out(T I flin (к) flout (к ) | p)ln -j- out(p I [flout (k ), ain (A)] |
p)in. (18.320)
§ 4. Дисперсионные соотношения
747
Напомним теперь, что в обеих ортонормированных совокупностях состояний |
ki, ... кп) in и l&t, ... кп) out вакуум и одночастичные состояния
одинаковы (стабильность вакуума и одночастичных состояний):
| ^)cut — I /,)in> (18.321)
I ^0>oUt = I ^>in = | XF0> = I 0>, (18.322)
и поэтому первый член в правой части (18.320) равен нулю, так как ain (к)
| p)in = 0. Подставляя в (18.320) выражение (18.166а) для коммутатора,
получаем
outip'k' | pk)iD = 4A:0p0S<3) (р — р") 6(3)(k — k') —
(2я)з ^ d*x \ d* x'e-i(-h-x-h'-x,) КХКХ- out{p' \ R(x'; x)\p)in,
(18.323а)
где
R (x; x') — — ?0 (x — x') [ф (x), ф (x')]. (18.3236)
При получении выражения (18.323а) для амплитуды рассеяния не было сделано
никаких предположений относительно природы частицы мишени, т. е. не
использовались никакие конкретные свойства одночастичных состояний |р),
\р'), кроме предположения ajn (k) |p)in = 0. Амплитуда рассеяния
(18.323а) все еще остается совершенно общей. При помощи ее можно
описывать взаимодействие двух бозонов, если состояния j р) и \ р')
понимать как однобозонные состояния, так что | р)-1а = a(n (р) | 0). Если
же в качестве состояний- | р) и j р') выбрать однонуклонные состояния с
импульсами р и р' и с массой М (р2 = р'2 = М2), то эта амплитуда будет
описывать рассеяние мезонов на нуклонах.
Следует также отметить, что дальнейшее приведение элемента А-матрицы
позволяет выразить его через среднее по вакууму от запаздывающего
произведения операторов или от хронологически упорядоченного
произведения. Чтобы показать это, напомним, что элемент А-матрицы иначе
можно записать в виде
out ip'к' I рк)in = 4p0k0bw (р — р') 6<3) (к — к') +
+ (2Sp \ d*x ^ dix'e-^h-x-h'-x'm:ХКХ. out{р' | Т (ф (х) ф (ж')) | р)ш,
(18.324)
и с помощью процедуры приведения начальных и конечных состояний (в
качестве которых берутся состояния «скалярных» нуклонов с массой М)
получаем
out{р к | рк)\в = out(/? к | p^)out "Ь
-Ь^2й)в ^ dix ^ dix' ^ d*y 5 d*y'e~il'k'x+v'lJ~h'’x'~v''} X
X D,jDy'KxKX’ (01 T (ф {x) ф {x') ф (у) гр* {у')) | 0), (18.325а)
где
Dy= Пу + М2. '(18.3256)
Для выяснения свойств аналитичности амплитуды рассеяния out{p'k' | pk)in
более удобна запись (18.323), а не (18.324). Это связано с тем, что
постулат о локальности в применении к запаздывающему произведению
операторов означает, что подынтегральное выраже-
748
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
ние (18.323) равно нулю в определенной области пространства-времени,
откуда следует вывод об аналитичности импульсного представления (18.323).
Этот вывод не сразу получается из выражения (18.324). Точно так же для
учета локальности более удобно не выражение (18.325а), а аналогичное
выражение, содержащее запаздывающее произведение вместо Г-произведсния.
При дальнейшем анализе аналитических свойств амплитуды как функции
кинематических переменных переменные обычного и изотопического спинов не
играют существенной роли. Учет их делает вычисления только более
громоздкими. Сейчас мы не будем учитывать эти переменные. В дальнейшем
для простоты рассматривается рассеяние нейтрального «скалярного» мезона с
импульсом к и массой р, на «тяжелом» скалярном нуклоне с импульсом р и
массой М. Мы будем предполагать, что для нуклонов соблюдается закон
сохранения числа тяжелых частиц. Проблема состоит в получении
максимальной информации о свойствах аналитичности амплитуд outip'k' |
