Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
имеет определенную четность. В этом предположении легко вывести следующее
свойство симметрии величины Т:
где /г0 = со и, конечно, со = |к|, поскольку мы имеем в виду рассеяние
физического фотона. Таким образом является четной функцией
от к, и множитель ехр( — гк-х) можно заменить на cos(k-x). Отсюда
следует, что амплитуда Т^ зависит от к только через посредство к2 = а>2
Для дальнейших ссылок отметим здесь, что зависимость от со
^ dlxe+ih'x6 (х0) {ps' | [/M {x), Av (0)] | ps) = \ d*xe+ih-x G** (p, x),
(18.273)
^ d*xe+ih-x6 (x0) {ps’ | [/й (x), Av (0)] | ps) = 2 g?iv (p\ I) co(.
(18.275)
Таким образом, вклад члена (18.275) в (со) есть полином по со конечной
степени. Поскольку мы интересуемся только аналитическими свойствами
амплитуды Т как функции со, то в дальнейшем мы будем опускать член с 6
(х0), так как характер его зависимости от со нам теперь известен. Отметим
также соотношение
которое означает, что если Трассматривать как матрицу с индексами s, s'
(т. е. в спиновом пространстве нуклонов), то замена со на —со превращает
матрицу 7’^v в эрмитово сопряженную матрицу.
Благодаря свойству запаздывания у величины 0(x)[/\l(x), /v (0)) первый
член подынтегрального выражения в (18.271а) отличен от нуля только при ?
> j х!, а поэтому правая часть (18.271а) определяет функцию (со)
комплексной переменной со = cot + ico2, аналитичную в верхней
полуплоскости со. Если предположить, что матричный элемент коммутатора
является непрерывным внутри светового конуса, тогда по лемме Римана —
Лебега асимптотическое поведение амплитуды Т (со) при со —> со
определяется особенностями коммутатора на световом конусе. Если
игнорировать возможность особенностей при со = оо, возни-'
?Vv (со, k, s s) — Тцу (со, к; з а),
(18.272)
у члена, содержащего 6(x0)[/M(x), 4V(0)], легко найти. Если записать
то из требования локальности следует, что функция G^v (р, х) равна нулю
при х Ф 0 и что она должна иметь вид
П
GSuv (Р, х) = И gav (Р\ 1) б(!) (*), (=1
(18.274)
где число п является конечным1). Отсюда
71
(со; ss ) — Тj^v ( со; s б1),
(18.276)
с) Допущение о присутствии производных только конечного порядка можно
рассматривать как существенное дополнение к определению локального поля.
738
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
кающих за счет полиномиальной зависимости Т от со, то эти аналитические
свойства можно выразить при помощи соотношения Гильберта
+ СО
s <«?»*>
—оо
Если предположить, что в пределе со—> оо мнимая Гчасть ImT,^ (со') ведет
себя как постоянная, тогда будет справедливо соотношение Гильберта с
вычитанием:
+оо
Т„ (») - Г., (0) —2- I ? <18-277б>
—ОО
Чтобы но затемнять внутреннюю простоту вывода дисперсионных соотношений
для рассеяния фотона на нуклоне алгебраическими деталями, связанными с
наличием спинорных и векторных индексов, мы ограничимся в дальнейшем
случаем амплитуды чисто когерентного
рассеяния, т. е. случаем, когда k = k', р = р', s = s' и
Я, = Я/. Элемент
матрицы рассеяния
ga)yM.v ^ gw обозначим через М%% (со). Для того чтобы записать
соотношение (18.2776) как дисперсионное соотношение, связывающее
действительную и мнимую части М, взятые только при физических значениях
со, нужно выяснить некоторые дальнейшие свойства 1тГ^,(со) и, в
частности, является ли она при изменении знака со четной или нечетной.
Прежде всего отметим, что при s = s' из соотношения (18.276) следует
Im nsv (со) = ~ (T3;v (со) - Т1% (со)) =
4(Сн-^(-со))=
= -Im7^v( —со). (18.278)
Отметим также, что Im (со) можно записать в виде
Im (со) = ^ dlxeih‘x{(ps\[fIL(x), /v (0)] | ps) 0 (х) —
-(?s|[/n( — х), /v(O)]|ps)0( — х)}. (18.279)
В силу трансляционной инвариантности
</?s | [/ц (— ж), /v(0)]|jos) = (jos|[/u(0), /v (а:)] | (18.280)
и с учетом того, что 0 (х) + 0 ( — х) = 1, получаем
Im Mix N = - Im Мц ( - со) (18.281а)
= y ^ dlxeih'x (ps | [е(Я>./(х), е(Я>./(0)] | ps). (18.2816)
Если в (18.271) подставить 0 (х) = у (е (х) + 1), то тогда амплитуда
разо-
бьется на две части:
Mtx (со) = Dtx (со) 4- iAtx (со), (18.282а)
где
АГя(со) = 1тМ&М, (18.2826)
Dxx (со) = y ^ (1*хе{к х е (х) (ps \ [еа>-/(х), е(Ч./(0)]| ps).
(18.282в)
§ 4. Дисперсионные соотношения
739
-Фи (®) И D'xx (®) — абсорбционная и дисперсивная части амплитуды
рассеяния. В абсорбционную часть при со > О
(®) = Im мхх (®) =
= -|-2 \ ^хе1к-х | (ps | e<^-/(0) | рпа) |2 ei (р-рп)-х (18.283а)
\Рп.а>
= п 2 (°)\Рпо, Р + к; а)I2б(Рпо — ® — Ер) (18.2836)
Рпо.а
вносят вклад только реальные промежуточные состояния (реальность этих
состояний обусловлена тем, что 6-функция гарантирует сохранение энергии и
импульса). В сумму (18.2836) вносят вклад состояния, соответствующие всем
возможным упругим и неупругим процессам взаимодействия начальных частиц.
С другой стороны, в D вносят вклад виртуальные (не сохраняющие энергию)
состояния. Следует отметить, что дисперсивная и абсорбционная части
являются действительной и мнимой частями амплитуды только в когерентном
случае.
В некогерентном случае ситуация несколько более сложная. Абсорбционная и
