Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Запаздывающее произведение операторов R (ф^) . . . ц>{хп)) можно теперь
получить из функционала
Sft (х- J) = - iZ* {/} ? {/} (18.142)
как результат функционального дифференцирования
(18.143)
D / , бпШ (х; J)
R (х; хи .. . хп) -----------------*-----
j=о
6 J (xi) ... 67 (хп)
Для иллюстрации этих замечаний сперва рассмотрим случай п = 0. Поскольку
щ^ад = ^ф(*)?№ <18-144)
i?(*) = 9 1(х; J) |J=0 =
= -??*{/} «Г (9(*)${/})[J=0 =
= ф(х). (18.145)
то
712
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Аналогично и при п= 1, поскольку
691 (ж; J)_ . ( 6%*{J] 6Z{J}
6J (х-j) — 1 ^ 6J (Xj) dJ (x)
TO
(x)-T( ф (xj)9(a:))] = = — Ю(х —Xj) [ф(х), ф(х4)] и т. д.
Трансформационные свойства функционала ? {/}
(18.147)
U (а, Л)?{/}(7 1 (а, Л) = T^i ^ dfixJ (Л Цх — а))ф(х)^ (18.148)
Таким образом, функции r(x; х4, . . . хп) являются лорепц-пнвариаптными
обобщенными функциями. Кроме того, благодаря свойству запаздывания r-
функции г (х; х4, . . . х„) = г(х —х1; ... х — х„) равны нулю, когда
векторы |4 = х — хь . . ., tn = х — хп лежат вне светового конуса
будущего. В силу таких свойств сосредоточенности1) г-функции в
пространстве-времени ее фурье-образ
является граничным значением аналитической функции. Область аналитичности
этой функции в пространстве переменных ztj, являющихся скалярными
произведениями комплексных векторов ри . .. рп, по меньшей мере такая же,
как область аналитичности функции Уайтмана W(n+1) (|±, ... |п) в
пространстве переменных = Это было непо-
средственно показано Челленом и Уайтмапом [417] для случая п — 3 и
Клейтманом [457] для случаев п = 4 и 5. Араки [13] провел систематическое
исследование общего случая и нашел также необходимые и достаточные
условия, при которых запаздывающие функции можно получить из функций
Уайтмана (см. также работы Циммермана [878] и Штейнма-на [740]).
Дополнительно к приведенным выше (линейным) свойствам запаздывающие
функции удовлетворяют системе нелинейных уравнений, которые связывают
функции различных порядков и являются следствием операторного тождества
R (х; у, xt, ... хп) — R (у, х, х,, . . . хп) -
Соотношение (18.151) можно проверить, если учесть что функционал 31 (х;
J) на основании его определения (18.142) удовлетворяет следу-
!) Термин «свойства сосредоточенности» («support properties») означает,
что функция имеет носитель, не совпадающий со всем пространством. — Прим.
ред.
позволяют сразу же сделать вывод, что
U (A) R (х; xi,... х„) U'1 (А) = R (Ах; Ах„ . . . Ах„) (18.149а)
и, следовательно,
г (х; хи ... хп) = г (Ах; Axt, . . . Ах„).
(18.1496)
П
у *__________
к\ (п — к)\
[R (х; xh, . .. xih), R (у, xift+1 . . . xin)]. (18.151)
il. • Лп k=0
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 713
ющему функциональному уравнению:
у)’ (18-152)
Доказательство: Для доказательства нужно воспользоваться соотношением
(18.146) и учесть, что функционал $ {/} является унитарным, т. е. что
$*{/} = ЗГ1 {/}, и, следовательно,
^(?*{/}ЗД) = 0. (18.153)
Прежде чем продолжать характеризовать запаздывающие функции, выведем
рекуррентные соотношения ЛСЦ, вытекающие из асимптотических условий.
Сначала докажем соотношение
[R{x\ хи ... хп), (pin(z)] = i cHz'A (z — z')Kz>R(x\xu...xn, z), (18.154)
где Кх = ? + р2.
Доказательство: Рассмотрим матричный элемент (Ф, [R(x\ хи ... хп), 9“*]^)
=
= г ^й32(Ф, [R(x; х^ ... хп), фщ (г)] ЧЦ ~fa (z). (18.155)
Асимптотические условия позволяют переписать правую часть (18.155)
следующим образом:
г Ц d3z (Ф, [R (х] хь ... хп), фщ (z)] ?) ~ fa (z) =
— i Hm *\й3г(Ф, \R{x\ хи ... xn), Ф (z)] ?) ---- fa (z) (18.156a)
Zq—> —CO J 0
= - lim J с23г(Ф, R (x; хи ... xn, z)W) ??-fa(z) (18.1566)
При получении (18.1566) мы учли, что z0 стремится к — оо и поэтому
предшествует всем временам х0, ... х0п, так что в подынтегральное
выражение в правой части (18.156а) можно добавить множитель В(х — z). Для
получения R (х\ хх, ... хп, z) нужно к [Л (х\ Xi, ... хп), ф (z)]
добавить еще ряд членов (соответствующих перестановкам хи ... хп, z),
которые, однако, равны нулю, поскольку z0 предшествует всем временам х0,
х10, . .. хп0. При помощи процедуры, уже применявшейся в § 4 гл. 17,
можно теперь записать
ч— • ^
lim ^ d3z(Ф, R (х; xt, . .. хп, z) ?) fa (z) =
?g—V —со J "Z0
= lim ^ (13ДФ, R(x\ x^ ... xn, z)Y)^rfa{z) —
Zq-»- + cc 3 0
+ CO <-*
— \jd3z ^ dz0CLj(®, R(x\ Xi,... Xn, z)W)-^-fa(z) |. (18.157)
Первый член в правой части (18.157) вклада не вносит, так как в нем
го_">+°°, а запаздывающее произведение R (х; xt, ... хп, z) равно
714
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
нулю, если какое-либо из времен х10, ... xn0,z0 больше х0. Учтя это и
выполняя указанное дифференцирование, получаем (Ф, [R(x; хи ... хп),
ф«*]ф) =
= 5 d*zfa (z) Кг (Ф, R (z; XU... хп, Z) Ф)- (18.158)
При выводе формулы (18.158) вторая производная с помощью
уравнения Клейна — Гордона, которому удовлетворяет /а (z), была заменена
выражением
J-2/a(z) = (^2-^)/a(z) (18.159)
и после этого было выполнено интегрирование по частям. Умножая формулу
