Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
затем по ним находится интерполирующее поле ф(ж). Однако подход, при
котором за основу берется гейзенберговское поле, более фундаментален и
представляется более подходящим для штурма проблемы описания
взаимодействий между элементарными частицами. При таком подходе
естественней всего начать с изучения теории, в которой операторы поля с
самого начала предполагаются локальными. Поэтому вместе с ЛСЦ перейдем к
изучению общих свойств релятивистски инвариантных локальных теорий поля,
удовлетворяющих асимптотическим условиям. ЛСЦ выяснили, и это один из
важнейших их результатов, что как следствие асимптотических условий могут
быть выведены так называемые формулы приведения для R- и Г-произведений
операторов гейзенберговского поля.
Запаздывающее произведение двух операторов определяется так: R{x\ 2/) = Я
(Ф (я) ф (г/)) = — iQ{x — y) [ф(ж), ф(г/)]- (18.132)
710
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Как обобщение запаздывающее произведение п -(-1 операторов определяется
1):
п = 0, R (х) = ф (х),
ге> 1, R (х; ... хп) = (— i)n 2 9 (х - xt) ... 0 (xn_i — xn) X
Р
X [[. .. [cp(z), <р (*!)], ф(ж2)]. • • • ф (**)]> (18.133)
где суммирование идет по всем перестановкам п координат х\.
Среднее
по вакууму от R (х; хи . . . хп) будет обозначаться через r(x\
xi, . . . хп):
г(х\ хи ... xn) = (Wo, R(x; хи .. . zJ'Fo). (18.134)
Непосредственно из определения /^-функций вытекают следующие их свойства:
а) свойство запаздывания', функция R {х\ хи ... хп) равна нулю, если
какое-либо из времен xi0 больше х0;
б) свойство симметрии: функция R (х; xl7 . . . хп) симметрична по Xi, ...
хп',
в) свойство эрмитовости: К-произведение эрмитовых операторов эрмитово.
Кроме того, запаздывающее произведение лоренц-ковариантных и локальных
операторов поля ф(х) ковариантно относительно преобразований Лоренца.
Доказательство: Для простоты сперва рассмотрим запаздывающее произведение
двух операторов R (х; у). По предположению,
U (а, Л)ф (x)U~1(a, Л) = у(Лх + а). (18.135)
Очевидно, что при сдвигах 0 (а; — у) = 0 (х -(- а — у — а) и
U (а, 1) R (х; у) Ul (а, 1) = R (х + а- у + а), (18.136)
так что, например, г (х; у) = г (х — у). И вообще благодаря
трансляционной инвариантности все функции г (х; xv, ... ха) зависят
только от разностей координат х — Xi, х — х2, ... х — хп
r(x; xt, ... ха) = г (х — Xi, х — х2, ... х — хп). ’(18.137)
Далее, при однородных преобразованиях Лоренца пространственноподобный
вектор остается пространственно-подобным, а времени-подоб-ный — времени-
подобным. Кроме того, при ортохронных преобразованиях времени-подобного
вектора х — у имеем 0 (х — у) — 0 (Л (х — у)). Поскольку произведение R
(х; у) отлично от нуля, только когда х — у — времени-подобный или
изотропный вектор, то с учетом локальности оператора ф(х) ([ф(а:), ф(у)]
= 0 при (х — г/)2 < 0) получаем
U(A)R{x\ у) U'1 (Л) = —iQ(x — y) [ф (Ля), ф (Лг/)] =
= —10 (Л (я — у)) [ф(Лх), ф (Ay)} = R (Ах\ Ау), (18.138)
*) Запаздывающее произведение различных Бозэ-полей определяется согласно
дФКР2...Фп+1(х1. ^ _ a.n+l) =
= (—i)n S0(*i-*i2) ЛФП*1). Ф»п+1 (г»„+1)Ь
Р
где суммирование проводится по всем перестановкам Р чисел 2, ...
Заметим,
что поле <рА снова выделено.
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ)_______________711
так что
г{х\ у) = г(Ах\ Ау) = г(А(х — у)). (18.139)
Доказательство ковариантности запаздывающего произведения более чем двух
операторов относительно однородных преобразований Лоренца нетривиально и
требует многократного применения тождеств Якоби. На самом деле удобным
инструментом для доказательства релятивистской инвариантности
запаздывающего произведения более чем двух операторов, а также для
изучения формальных аспектов теории в целом являются производящие
функционалы (см. работы Швингера [715, 722], Симанзика [760, 764] и книгу
Боголюбова и Ширкова [67]). Вообще говоря, для производящих функционалов
не предполагается какой-либо иной смысл, кроме формального. Производящий
функционал для запаздывающего призведения операторов можно получить из
унитарного функционала
? {/} = Т exp (i ^ d^xJ (х) ф (я)^) =
СО
= 2 7Л“ \ diXl " ? 5 dlXaJ ^ J ^ т (ф ^ ? ф (18-140)
п—О
где J(x) — функция источников, которая играет чисто вспомогательную роль
(см., однако, работы Швингера [715, 722]), а Т — оператор
хронологического упорядочивания Вика. Попутно напомним, что операция
хронологического упорядочивания релятивистски инвариантна, если [ф(иг),
ф(лг')] = 0 при (х — x'f < 0. При применении функционала %{J} заранее
предполагается, что произведения •
Т (ф (х^ . . . ф (хп)) = 2 0 (tfi — я2) ? • • 0 (хп-1 —
хп)ф (xi) • • • ф (хп)
по всем перестановкам
(18.141)
хорошо определены. Оказывается, что для того, чтобы эти произведения были
хорошо определены, достаточно иметь хорошо определенные средние по
вакууму от обычных произведений операторов, т. е. функции Уайтмана, а,
говоря более точно, последние произведения должны быть обобщенными
функциями умеренного роста [876, 13, 764, 740].
