Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 304

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 298 299 300 301 302 303 < 304 > 305 306 307 308 309 310 .. 373 >> Следующая

произведений вытекают из релятивистской инвариантности, спектральности и
локальности, как и в случае функций Уайтмана. Кроме того, для этих
средних по вакууму можно вывести систему зацепляющихся уравнений — аналог
соотношений неотрицательности в формулировке Уайтмана. При выводе этих
зацепляющихся уравнений явно используются асимптотические условия и то,
что многообразие физических состояний образует гильбертово пространство.
Изложить формализм ЛСЦ можно двумя путями. Во-первых, можно принять
аксиомы формулировки Уайтмана ( о существовании гильбертова пространства
i§, трансформационных свойствах операторов поля и локальности) и
дополнить их предположением (или постулатом), что операторы поля
удовлетворяют асимптотическим условиям. Дальнейший анализ будет состоять
в изучении следствий этих аксиом для функций
тт> (хи . . . хп) = (?„, Т (ф (*0 . . . ф (*„)) ?0), (18.91)
называемых хронологически упорядоченными, или т-функциями, или для
функций
г№+1) (х\ хи . . . хп) = (— О'1 2 0 (z — ад) . . .
по перестановкам
• •• в(Яп-1-я„)(То, [. • • [ф(я), ф(ад)], . . . ф(яп)] Т0), (18.92)
называемых запаздывающими, илр: r-функциями. [В выражении (18.92) сумма
распространяется по всем перестановкам чисел 1, ... и.] В частности,
можно попытаться выяснить, будет ли для т- или r-функций справедлива
теорема, подобная той, которую доказал Уайтман для функций W, а именно
можно ли по заданной системе г- и т-функций, удовлетворяющих определенным
условиям, восстановить теорию поля, в которой эти . функции были бы
средними по вакууму от запаздывающих или хронологически упорядоченных
произведений операторов поля. Такой подход развивается в ЛСЦ 1 [491 ].
При этом в качестве основных величин берутся гейзенберговские операторы.
Во-вторых, можно попытаться, следуя оригинальной идее Гейзенберга [372,
373], основывать формализм целиком на требованиях, налагаемых на ^-
матрицу, т. е. рассматривать ин- и аут-поля как основные величины, а
гейзенберговские поля как производные. Этот подход был принят в ЛСЦ II
[493] (см. также работы Боголюбова и др. [65, 66, 67]).
Изложим кратко второй подход. Цель теории в этом случае — релятивистски
инвариантно описать только окончательные результаты экспериментов, в
которых в начале и в конце частицы не взаимодействуют. Поэтому начальные
и конечные состояния представляются векторами, соответствующими свободным
частицам, S'-матрица есть унитарный оператор, который отображает
гильбертово пространство ин-состояний | ) Y и, на пространство аут-
состояний |4r)0ut- При помощи этой матрицы обычным образом вычисляются
амплитуды переходов. Для простоты мы
704
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
изложим формулировку ЛСЦ на примере модели, в которой имеется один сорт
стабильных нейтральных частиц с массой ц и спином 0. (Отметим, что масса
и спин рассматриваются как заданные параметры!) Будем предполагать также,
что нет связанных состояний. Что касается математической стороны теории,
то вводятся два поля: cpin (х) — <р*п (х)
и <Pout (х) = <p*ut (х), которые удовлетворяют свободным уравнениям
Эти поля описывают асимптотически свободные приходящие (ин-) и уходящие
(аут-) частицы. Так как ин- и аут-поля удовлетворяют свободным уравнениям
(18.93), то они представляются следующими интегралами Фурье:
где, согласно предположению об эрмитовости операторов ф;п (х),
out
С помощью этих операторов можно построить полную систему приходящих и
уходящих (ин- и аут-) состояний. В частности, приходящее
записывается как результат действия ии-операторов на вакуумное состояние
ITo)
Оператор а*п (к) определяют, представляя поле фт (х) в виде следующего
инвариантного интеграла Фурье:
Перестановочные соотношения для операторов щп такие же, как для
соответствующих операторов свободного поля:
Аналогично можно ввести аут-операторы aout и определить уходящие (аут-)
состояния. Разложение по плоским волнам (18.97) дает нснорми-руемые
векторы состояния j ки ... кп)[П. Часто бывает удобно, а для
математической (и физической!) строгости и необходимо заменить континуум
амплитуд плоских волн в интеграле (18.97) дискретной последо-
(? + Р2) фт (х).= (? -f ц2) фоиг (я) = 0
(18.93а)
и перестановочным соотношениям
[фш(я), фт(2/)] = [фот (я), 9out(y)] = iA(z — у\ ц). (18.936)
фт (х) = —!-з-д \ &ке-1к-*д(к2-\1*) cpin (к), (18.94)
out (2я) '2 J out
ф*п {к) = фт { — к).
(18.95)
out
out
(ин-) состояние п частиц с импульсами kt = (р,2, kj), к2, ... кп
(18.96)
(18.97)
Сравнивая (18.97) с (18.94), находим
®in (к) — фт (к), кд 0,
а*п(/с) = фт(-*), к0>0.
(18.98а)
(18.986)
[ai„ (А-), а*п (А')] = 2к06(3' (к — к'), lain (к), ain(k')] = [afn(k),
afn(k')] = 0.
(18.99а)
(18.996)
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ)
705
вательностыо {/а} положительно-частотных решений уравнения Клейна
Гордона. Свойства этой последовательности {/а} следующие:
а) ортонормированность
-i \ d*x{U(x) зи} = ба3, (18.100)
б) полнота
ОО
2 fa{x)fa.{x,) = iA<*>{x — x'\ ц). (18.101)
Предыдущая << 1 .. 298 299 300 301 302 303 < 304 > 305 306 307 308 309 310 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed