Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
П
ности /с? = р.2, (2 &г)2 = Р2 и но зависит от порядка, в котором
i
совершается переход к пределу k\—^р2, (2^г)2—^l*2-Тогда если определить
оператор ср (х) формулой (18.183), то функции г (х; Xi, ... хп) будут
средними по вакууму от запаздывающих произведений этих операторов, и,
кроме того, так определенный оператор ф (х) удовлетворяет
асимптотическому условию, является локальным и лоренц-ковариантным. Эта
теорема является аналогом теоремы Уайтмана, в которой утверждается, что
последовательность функций Уайтмана, обладающих некоторыми конкретными
свойствами, определяет локальную теорию поля.
Формулировку теории поля, очень близкую к той, которая была приведена
выше, можно дать в терминах средних по вакууму от хронологически
упорядоченных произведении операторов поля —ЛСЦ I [491]х). Хронологически
упорядоченное произведение операторов поля определяется согласно
Т (ф (xi) ... ф (хп)) = Т (хи ... xj =
= 20 (Zil - Xit) 0 (xh - xh) ... 0 (Xi - Xin) ф (ZiJ . . . ф (xj.
p
(18.187)
Суммирование в (18.187) проводится по всем перестановкам ilt .. . in
чисел 1, 2, ... п. Средние по вакууму от 71-произведений обычно называют
т-функциями:
т<"> (Хи ...*„) = (?„, т (ф (х4) ... ф (*„)) ?0). (18.188)
Через т-функции можно выразить Х-матрицу. Чтобы это доказать, сперва
выведем следующую формулу приведения:
[5-Т(ф(х,) ... ф(х„)), ф;n(z)] =
= — ^d*z' b(z-z') Kt'S-T (y(xi) ... ф (Xri) Ф (%')) ? (18.189)
J Доказательство-. Рассмотрим матричный элемент коммутатора [X-r(xlt ...
хп), ф^п*] между произвольными нормируемыми состояниями
1) См. также [920].—Прим. ред.
720
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
\Ч?) и |Ф). Как следствие асимптотических условий снова получаем
(?, [.S’-Г (ад, ... хп), ф“*]ф) =
= lim (?, [S-T(x ь ... хп), фа* (zq) ] Ф) (18.190а)
ZQ-+ — O0*
Ч >•
= i lim { (У, [S-T(xi, . .. хп), ^(z)\<b)^ria(z)d'iz (18.1906)
Zq—?—оо J oz0
-~i lim { dsz{({?, S-T(xu . .. xn, z) Ф) —
20->—CO ^
Ч-- ->
— (Y, SyQnt(z)T(xu ... xn)<$))}~fa{z). (18.190b)
При выводе форд1улы (18.190в) было использовано, что z0 предшествует всем
временам х10, ... хп0, так что ф (z) можно внести под знак Т’-произ-
ведения. Мы также воспользовались тем, что фш (z) S = *5^out (z).
Продолжим вывод. Снова используя
+ 0°
\ dz0-^—F(z) = lim F (z) — lim F (z), (18.191)
«3 fZ0 —CO Zq—У — OO
— ад
получаем
(?, ... xn), Ф1ап*]Ф) =
= - i 5 dH lL0 {(^0, S-T(xu ...xn, z) Ф) A fa (2)| (18.192a)
= ф i J dhfa (z) Kz (V, S ? T (X,, ...Xn, z) Ф), (18.1926)
что и требовалось доказать. В (18.192а) члены Jim S‘2'(Xi, . .. хп, s) и
lim 6,фои1; (z) 71 (а:ь ... хп) сократились на основании определения
ZQ^ + OO
Г-произведсиия и предельпого перехода к асимптотике. Не вносит
ч ?
вклада и член \SyaVlt(z) ГТ (хи ... хп)?— /а (z)} , так как и (fuut(z),
OZ о o«Q )
и fa(z) удовлетворяют уравнению Клейна —Гордона. Формула приведения
(18.189) получается из формулы (18.1926) с помощью уже знакомой
процедуры.
Если пн-поля неприводимы, то по ним снова можно разложить .S’-матрицу:
со
S=V, ^ dixl . . . ^ dlxnQn (хи . . . хп) : фж (^i) • • • фи. (хп):
(18.193а).
71— О
или в импульсном пространстве
со
(~i
S=y, V d4t ... \ d*knon (Ад, ... kn) X
m n . ,J tj
n=0
X6(A1J-|i2)6(A---|i2) ... 6(Аф,-р2):$ш (Ад) ... iiu (?„):. (18.1936)
2. Формулировка Лемана, Симанвика и Циммермана (ЛСЦ)
721
Образуя повторные коммутаторы А с (pm(zi), фт(2п) и т. д. и беря среднее
по вакууму, находим
о„ (А„ . . . А„) = е (ki) ... 6 (А„) (Т0, [. .. [5, фГп (АО],... ф*п
(А„)] ?„). (18.194)
Используя соотношение (18.1926) и совершая преобразование обратно в
координатное пространство, окончательно получаем
ОО
s ^ 2 S Й4;Г1 • • ? \ diXn Х
п=0
X КХ1 .. . КХп (То, т (хи ... хп) То): ф1п (ж0 • ? • фшЫ: (18.195)
и, следовательно,
а„ (а:ь ... хп)=КХ1 ... А+Лт (жц ... хп). (18.196)
Для хронологических и антихронологических произведений можно записать
соотношение, аналогичное соотношению (18.151), которому удовлетворяют
запаздывающие произведения. Антихронологический оператор Т можно
определить так:
Ti (ф (х^ . .. ф (хп)) =
= 'Z®(Xin-Xin_l)Q(Xi n_,“+n_2) ••• 0 (^2 — ^i) ф (^tl) ф (^ia) ••• Ф
(Xin)-
(18.197)
Тогда искомым соотношением является
71
2 Тг|Й)Г- 24 • • • **> Т •••**) = <>• (18.198)
ft—о
Если взять среднее по вакууму от (18.198), получим систему зацепляющихся
интегральных уравнений для т- и т1-функций:
тг—1
0 — т (#1, . . . хп) т! (xi, .. . хп) +222
l\ к\ (га—*)! г 1 ... in ft=l 1=0
X
X ^ d^Ui . . . jj d^ui ^ d4n 1 ... ^d^Vi KU1KU2... ^„t(i,, .. . a;*, wt,
. . . пг)
X
X A<+> (Ui—Vi) .. . A<+) (ui~Vi)KBl .. . АГ„гт* (яд+1, . . . xn, vt, . .
. vt). (18.199)
Эти зацепляющиеся уравнения являются «обобщенными соотношениями
унитарности» для т-функций. Их связь с унитарностью А-матррцы становится
очевидной, если в соотношения АА* = А*А = 1 подставить разложение
(18.195) для Айв получившейся формуле использовать соотношение полноты
2 I ®)in in (И I = 1 •
I <x>
По поводу т-функций можно сделать замечания, аналогичные тем, которые
