Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
—со —со
Следует подчеркнуть, что для того, чтобы определить оператор тока / (я)
выражением
'^=~iS"6^Wr <18-,24>
нужно конкретизировать экстраполяцию функций hn или ап за пределы
массовой поверхности тогда как, если задан оператор S, величина
^ А (х— х') А-1 Д(р.^ж/) определена однозначно J.
1) Однако требование унитарности не выражается через ап простым образом.
Оно принимает вид нелинейного соотношения, перепутывающего все функции
сгп,
45*
708
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Доказательство: Если воспользоваться соотношением 1 1
^ dk ~ [е~ат)ф1а (х) е1^] = i dke~1^ [ф1п (х), т)] =
о о
— фспП (ф) фт (z), (18.125)
то уравнение (18.1226) можно также записать в виде
1
фо1И (х) = фт (х) — ^ (х ~~ х ) е~ап® (х ) еаг]^х', (18.126)
о
Где
со
й (х') = У\ фС \ diXi ' ’- \ dix,lh,l+1 Xl’ ' ’' Хп) : ф1п ' ' • ф1п (Хп)
?1=О
(18.127)
Из этого последнего выражения1) видно, что для того, чтобы ток j (х) был
определен при всех х, функции hn+l(k, ku . . . kn) (n = 0, 1, . . .)
должны быть определены и при к2 Ф р2. Пока эта экстраполяция за пределы
массовой поверхности не была ограничена ничем, кроме
требования, чтобы все соотношения симметрии, справедливые на массовой
поверхности, выполнялись всюду.
Леман, Симанзик и Циммерман определили далее оператор поля
Ф (х) = фт (х) + ^ й*хЪц(х — х'))(х'), (18.128а)
/(я) = (? + Ц2) ф(я)- (18.1286)
Этот оператор, по-видимому, определен корректно, поскольку ни одна из
операций, используемых для построения его из S и фщ, не ведет к каким-
либо расходимостям. Если функции hn (klt . . . кп) вне массовой
поверхности удовлетворяют условиям симметрии (18.113) — (18.116), то
тогда поле ф(х) при преобразованиях Лоренца будет преобразовываться, как
скаляр, и будет эрмитовым. Кроме того, благодаря требованиям
непрерывности, предъявляемым к hn (кt, ... кп) и к процедуре
экстраполяции, оператор фЦ) будет удовлетворять асимптотическому условию
lim (Ф, Ф; (0 40 = (Ф, Ф/Ц1?), (18.129а)
СО j{1
где
cpf (0 = i^d*x {ф (X) Zl'J "^} 7 (*)} • (18.1296)
В формуле (18.1296) функция f(x) есть любое нормируемое решение уравнения
Клейна — Гордона с массой ц. Существование этого предела является теперь
простым следствием леммы Рнмана — Лебега для интегралов Фурье и вытекает
из предполагаемой непрерывности функций hn (ku . . ,kn) вблизи массовой
поверхности. Однако подчеркнем, что при заданной
Хотя функции ЛЦ/q, ... kj) с поморами / = 1, 2, 3 на массовой поверхности
равны нулю, не обязательно, конечно, чтобы и их экстраполированные
значения также тождественно равнялись нулю. Поэтому в соотношении
(18.127) сумма начинается с п = 0.
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ)
709
5-матрице соотношение (18.128) определяет поле ср(ж) неоднозначно. Эта
неоднозначность отражает произвол в экстраполяции функций hn за пределы
массовой поверхности. Существует много интерполирующих взаимодействующих
полей, соответствующих данной 5-матрице и удовлетворяющих слабому
асимптотическому условию lim ф''Ц) = фою- Последнее
t ± со in
требование означает, что функции hn (кь ... кп) должны быть конечными и
непрерывными вблизи к\ = р,2. Однако, вообще говоря, интерполирующие поля
не будут локальными. Но дальнейшее требование, предъявляемое к hn (Ад,
... кп) и к процедуре экстраполяции за пределы массовой поверхности,
чтобы получить
[ф (х), ф (ж')] = 0 при (х — я')2 < 0, (18.130)
оказывается весьма жестким. Как уже отмечалось выше, известно (см. работы
Циммермана [876], Редмонда и Урецкого [663], Кашлуна [432, 433], а также
диссертацию Гринберга [338]), что если имеется локальное гейзенберговское
поле, подчиняющееся каноническим перестановочным соотношениям, т. е.
одновременно (х0 = х'0) коммутатор [ф (х), ф {х)\ есть с-число,
пропорциональное 6<3) (х — х'), то пн-поле, определяемое согласно
фт(я) = ф(я)— ^ dVAR (х — х) (?*- + и2) ф (х'), (18.131)
удовлетворяет перестановочным соотношениям для свободного поля. (По
самому определению пн-поля (18.131) оно удовлетворяет свободному
уравнению.) Таким образом, локальность и канонические перестановочные
соотношения суть достаточные условия для существования асимптотических
полей. Однако эти условия не необходимы, так как известно (по крайней
мере в наинизшем нетривиальном порядке теории возмущений), что
асимптотический предел существует даже в нелокальных теориях поля (см.
работу Кристенсена и Меллера [463]).
5-матрицу называют причинной, если существует хотя бы одна экстраполяция,
приводящая к локальному интерполирующему полю ф(х). В настоящее время не
известно, существует ли вообще какая-либо матрица рассеяния, порождающая
локальную теорию поля с оператором ф(х), кроме тривиального случая 5 = 1
и ф(х) = фнЦя) = cpout(^)- Однако вопрос, к каким следствиям для
наблюдаемых величин приводит гипотеза о локальности интерполирующего поля
ф(х), поддается изучению. До сих пор мы излагали «феноменологический»
вариант формализма ЛСЦ, в котором за основу принимаются пн- и аут-поля, а
