Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
делались по поводу г-функций [586]. Последние несколько более удобны, так
как требование локальности, предъявляемое к операторам, выражается
простым свойством г-функций — свойством запаздывания. Однако свойство
локальности не столь легко выразить в виде • линейного 46 с. Швебер
722
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
свойства т-функции. Тем не менее тесная связь т-функций с ^-матрицей
делает их предметом интенсивного изучения. В перенормируемых теориях поля
фурье-образы т этих т-функций
71
т (Pi, • • • Рп) = ^ ^ ? ? ? \&хпе 3=1 ^ } т(хи . . . хп),
(18.200)
вычисляемые по теории возмущений, содержат особенности вида
г^п
й(Р)> b(p2 — m2) и Р (р2 — т2)'1 по любой переменной р— 2 Piv
V
Особенности вида б (р) возникают от промежуточных вакуумных состояний;
особенности вида б (р2 —иг2) и Р (р2 —- т2)~1 — от промежуточных
одночастичных состояний с дискретным значением массы т. Мы уже видели,
что эти одночастичные особенности играют важную роль в теории рассеяния и
что соответствующие им вычеты связаны с константами связи [126]. В рамках
формулировки теории поля ЛСЦ одночастичные особенности т-функций были
подробно исследованы Циммерманом [877]. Одночастичные полюсы часто
находятся в нефизической области значений импульсных переменных
[например, в случае рассеяния я-мезонов на нуклонах имеется полюс при
(р±к)2 = М2]. Вообще же говоря, для многочастичных процессов они могут
соответствовать физическим значениям импульсов частиц. Появление этих
одночастичных полюсов связано с ограничениями, налагаемыми условием
причинности.
В заключение настоящего параграфа отметим, что рассмотренный здесь в
общих чертах формализм может быть обобщен на физические ситуации, когда
имеются стабильные связанные состояния или составные частицы [876, 585,
36]. Подход состоит в том, что для каждой составной частицы или
связанного, состояния определяют свой оператор поля. Массы и другие
характеристики этих составных систем входят в теорию как задаваемые
феноменологические постоянные. Оператор для каждой составной системы
может быть в явном виде выражен через первоначальные гейзенберговские
операторы поля и удовлетворяет асимптотическому условию, соответствующему
частице, которую он описывает. Далее можно вывести формулы приведения,
являющиеся обоб-щением формул (18.154) и (18.189), и получить /S'-
матрицу, которая будет описывать также рождение и аннигиляцию составных и
связанных систем1).
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
Теперь мы на время прервем наше изложение аксиоматической формулировки
релятивистских теорий поля и остановимся на работах Йоста и Лемана [405]
и Дайсона [203, 204], посвященных выводу представления для матричного
элемента причинного коммутатора между произвольными физическими
состояниями. Это представление является обобщением представления Лемана
‘для среднего по вакууму от коммутатора двух операторов, которое
рассматривалось в гл. 17 и в § 1 настоящей главы. Как мы увидим в § 4,
представление окажется очень полезным при исследовании аналитических
свойств амплитуды рассеяния.
Ц Техника приведения, отличная от изложенной в настоящем параграфе,
разрабатывалась Толлом [925]-—Прим. ред.
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора 723
Наша цель — получить представление обобщенной функции
Fpq{X, х') = {Ра\[А{х), Я(я')] |<2Р), (18.201)
которое охватывало бы как можно больше свойств этого матричного элемента,
следующих из условий релятивистской инвариантности, локальности и
спектральности. Результат будет совершенно общим и не будет зависеть ни
от какого-либо частного вида лагранжиана, ни от какого-либо приближенного
метода (такого, как теория возмущений). Для простоты возьмем скалярные
поля А и В:
U (а, А) А (х) U-1 (а, А) = А (Ах А а), (18.202а)
U (а, А) В (х) U"1 (а, А) = В (Ах + а). (18.2026)
По предположению, эти поля локальны друг относительно друга, т. е.
[А (х), В(х')]= 0, когда (х— а:')2 < 0, (18.203)
так что FPq (х, х') обращается в нуль при (х — т')а < 0. Векторы Р и Q,
которые входят в состав квантовых чисел, характеризующих состояния | Ра)
и |(?|3)> являются импульсами физических состояний и поэтому лежат виутри
светового конуса будущего. Благодаря трансляционной инвариантности
(Ра|Б4(:г), B(x')]Q?>) =
= (Ра j Z7*1 (а, I) U (a, I)[A(x), B(x')]U~1(a, I) U (а, /)|<?Р) =
= е-цо-р)-а(?)а| [^4 (я-j-a), B(x'A&)]\Q§) (18.204)
и, следовательно,
Fpq (х,‘ х') = е~1(®-р)-аРр0 (х -(- а, я' + а), (18.205)
где вектор а произвольный. Выбирая а — — —jp- , находим
Fpa(x, -—) . (18.206)
Поэтому достаточно рассмотреть матричный элемент
fPQ(x) = (Pa\ [А ?(-|)] |<?Р>, (18.207)
который благодаря локальности операторов обладает свойством
fpQ (х) — 0 при х2 < 0. (18.208)
В дальнейшем матричный элемент fPQ будет просто обозначаться через/.
Разобьем теперь матричный элемент / на две части
f(x) = fl(x) — f2(x), (18.209)
такие, что
/,(*) = (Ах ]Л =
х
= I1, (Pa|4(0)j^6)(7i:6|B(0)|(?p)e-iA'^ег<0+Р)'2 (18.210)
