Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(18.158) на /«(я), суммируя по а и складывая результат с выражением,
комплексно сопряженным ему, окончательно приходим к формуле (18.154). При
помощи итераций формулы (18.154) получим
[...[[/?(х] хи ... хт), (pm(zi)], фщ(22)], ... фщ(г„)] =
= d%... jj d%A (Zi — z'J ... A (zn — z'n) Kz^... KZ^R {x\ xu ... xm,
z[, ...z„).
(18.160)
Нужно отметить, что эти рекуррентные формулы содержат дифференцирование
запаздывающих произведений, что приводит к появлению
б-функций. Поэтому если даже среднее по вакууму от 7?-произведения и
определяет обобщенную функцию, совершенно не ясно, будет ли определять
обобщенную функцию производная /?-произведения. [Известно, что*в
перенормируемых теориях соотношение (18.160) может рассматриваться только
как символическое и, чтобы придать ему строгий смысл, нужно сопроводить
его некоторыми перенормировочными предписаниями.]
Как простейшее применение процедуры, приведшей к соотношению (18.154),
можно вывести уравнение Янга и Фелдмана, связывающее ин-и аут-поля. Из
асимптотических условий следует, что
(Ф, ф[пФ) = Ит (Ф, ф^)ф) =
*0-*-со
ч *
= lim i [ d3x (Ф, ф (х) Ф) } (х) =
л0->—оо •) ^х0
= lim d3x (Ф, ф (х) Ф) ^ / (х) -
я0-* + со J их0
-{-со <_^
— СО
+ СО
= (ф' (ffout?) + i 5 dlxT(x)Kx(ф, ф(я)Ф),
— СО
(18.161)
откуда, поступая так же, как при выводе соотношения (18.154), находим фош
(я) = ф1п (ас) — ^ А (х — х’) КХ’ф (х') d*x'. (18.162)
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 715
Теперь, комбинируя соотношения (18.162) и (18.154), легко вывести
перестановочные соотношения между ин- и аут-полями. Так, образуя
коммутатор обеих частей формулы (18.162) с фт(у), получаем
[фоиь (^), фт (?/)! = (ж — ?/) — d4x'A (х — х') Кх. [ф(я'), фт(у)].
(18.163)
Далее соотношение (18.154) для R (х) = <р (х) имеет вид
1ф(х'). ф1п(2/)]=г ^ d4y'A(y — y')KV’R(x'; у'), (18.164)
откуда
[фршДаД Фт (У)] =iA (х — у) —
— ? ^ d*x' ^ а4у'А (х — х') А (у— у’) Kx-KyR (х1; у1). (18.165)
Попутно отметим, что Циммерман [876] доказал, что порядок интегрирования
в (18.165) можно изменять тогда и только тогда, когда приходящее (ин-) и
уходящее (аут-) поля удовлетворяют одним и тем же перестановочным
соотношениям. Если в формулу (18.165) подставить интеграл Фурье (18.97),
выражающий ф;п через щп и а*п, то можно получить
[aout (^)i <7ii> )] =
= 2k0ba) (k-k') --^3 ^ d*x ^ dWe-iik’-x'-k-VKsKx-Rlx-, х'), (18.166а)
[«out (7с), aln(/f')j = ™- d4x ^ d4xre+i{k-x-k'-x'^KxKX'R (х; х').-
(18.1666)
Теперь мы в состоянии получить систему зацепляющихся уравнений, которые
вместе со свойствами запаздывания, действительности, симметрии и
ковариантности характеризуют запаздывающие функции
r(x\ Xi, ... хп). Среднее по вакууму от обеих частей соотношения (18.151)
равно
г(х\ у, Xi,... хп) — г(у; х, Xi, ... хп) =
п со
~ i 2 (^Г°’ xh’ г) X
ii ... in fc=0 1=0 ai ... a. j
X (Ф^???aiR(y; Xih+1, ... xin)W0)-X (18.167)
(X — член, получаемый путем взаимной перестановки х< >у), где
вставлена сумма по полной системе состояний
[Ф“-•?“<) = -Л= фй* ... Фт‘‘!Тго). (18.168)
у п\
Наконец, с помощью рекуррентного соотношения (То, R{x\ Xi, . . . хЦфт1* •
• • ф“п*Т0) =
— ^ d4Zi . . . ^ d4znfai (Zi) . . . fan (zn) KZl . . . KZnR (x\ xlt ...
xm, Zi, ... zn)
(18.169)
716
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
получаем следующую систему уравнений: г (х; у, ... хп) — г (у;
х, хь ... хп) =
11 СО
= 223 SdHli • • ? § d'ui S d'v1 • • • 5 x
ii , . in. k—0 1=1
X KUi . . . KUlr (x\ xh, ? ? ? Xik, Mt, ... щ) Л(+)(М1 — Hi) ... A(t> («z
— щ) X
XKV{ ... KVlr(y; х1м , . . . xinvu ... щ) —(x<------->y). (18.170)
Эти зацепляющиеся нелинейные интегральные уравнениях) для /’-функций
являются аналогом неравенств для функций Уайтмана, выражающих условия
неотрицательности. Нужно заметить, что при выводе уравнений явно
использовалось соотношение полноты для ин-состояний, и поэтому уравнения
в том виде, как они записаны, не будут справедливы, когда существуют
связанные состояния (однако см. статью Баумана [36]). Эти уравнения
выражают абсорбционную часть каждой 7’-функции как сумму квадратичных
членов, возникающих от разных промежуточных состояний, п могут
рассматриваться как «обобщенные условия унитарности». В § 4 мы увидим,
что соотношения (18.170) играют существенную роль при доказательстве
дисперсионных соотношений для амплитуд рассеяния (см. работу Йоста
[406]).
Для свободного поля
г (х; Xi, ... хп) = 0 при н>1. (18.171)
Уравнение, которому удовлетворяет функция г (х: х() = г (с() (?i —х —
Xj), есть
г (х — у) —г (у — х) = ^ d*u ^ d^vKyT (х — и) А(+) (и — v) Kvr (у — v) —
— ^ d4K jj diroKur (у —- ц)А1 ° (и — и) Kvr (х — v) =
™ 5 й‘“
где А (х) = Д(+) (х) — А(+> ( — х) = Д(+> (х)-у А'"* (х). Единственное
решение этого уравнения, удовлетворяющее трем граничным условиям
(симметрии, вещественности и запаздывания), имеет вид
г(х\ У)= — &r(x — y) = 0(x — у) А (х — у). (18.173)
Если теперь попытаться решать зацепляющиеся уравнения (18.170) но теории
