Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 303

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 297 298 299 300 301 302 < 303 > 304 305 306 307 308 309 .. 373 >> Следующая

Условия неотрицательности, будучи нелинейными, связывают друг с другом
все функции W, и в этом состоит трудность обращения с ними. Оказывается,
следствия этих нелинейных соотношений несколько легче изучать при помощи
другой системы функций, которые также характеризуют теорию поля, а именно
при помощи запаздывающих функций. Эти функции составляют основу
формулировки теории поля, которая была дана ЛСЦ и к изложению которой мы
сейчас переходим.
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ)
Множество функций Уайтмана W(п> (?,, . . . удовлетворяю-
щих соотношениям (18.13), (18.14), (18.18) и (18.25), определяет
локальную теорию поля. Однако если такая теория поля предназначается для
описания физических явлений, то она, кроме полевых наблюдаемых ф(а:),
должна содержать еще наблюдаемые частиц. Минимальное требование
заключается в том, чтобы теория давала все те предсказания для
экспериментов по изучению столкновений, которые охватываются обычной
формулировкой А-матрнцы. В настоящее время стандартный подход для
обеспечения этого состоит в наложении на поле ф(;г) асимптотических
условий. Асимптотическое условие — это требование, чтобы теория поля
допускала интерпретацию в терминах асимптотических наблюдаемых,
соответствующих частицам с определенными массой и зарядом. Математически
асимптотическое условие выражается как требование существования пределов
lim (Ф, Ф'(0?) = (Ф, ф/ц1?),
in
(18.84)
702
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где |Ф), l1?) —любые векторы пространства, в котором действуют
операторы, а
ф/ (0 = i J {ф (яг) -------7 (ж)} d3z. (18.85)
Здесь / — любое нормируемое решение уравнения Клейна — Гордона
с массой р,
(? + И®)/(*) = 0. (18.86)
Кроме того, молчаливо предполагается, что если f'(x)— любое нормируемое
решение уравнения Клейна — Гордона с массой р/ Ф р, то предел
lim (Ф, фу' (t) 1F) равен нулю. Асимптотическое условие означает далее,
(->?±00
что поля <рт (х) и фои1 (х) должны удовлетворять
дифференциальным
уравнениям и перестановочным соотношениям теории свободного поля
(? + F2) фш (ж) = (? + р2) Ф0и1 (ж) = 0, (18.87)
[фт(ж), ф]ц {х')] = [фот {х), фои1 (ж')1 = гА (х— х'\ р); (18.88)
здесь р —масса частицы, описываемой этими асимптотическими полями1).
Если поля фщ (х) и (| о,ц (х) неприводимы и па векторы
| Ч'о), ф{п | Yo), • • • Фн, Фщ > • • ? ф(п I • • • натягивается все
гильбертово
out out out out
пространство $ физических состояний, тогда соотношения (18.88)
обусловливают существование унитарного оператора S (A-матрицы), такого,
что
фот (х) = А'1ф1„ (х) А, (18.89)
А*А = АА* = 1. (18.90)
О Гринберг [338] при помощи функций Уайтмапа исследовал вопрос, какими
дополнительными свойствами должно обладать поле, чтобы выполнялись
асимптотические условия. Он показал примерно следующее. Если функции
Уайтмана W<n> (р 1, ... pn-i) ведут себя вблизи значений /,? = р2 (вблизи
масс свободных частиц) не хуже S-функции или полюса в смысле главного
значения и если, кроме того, поля удовлетворяют локальным перестановочным
соотношениям, т. о. если
коммутатор [ф (х), ф.(г/)] при х0 = у0 пропорционален 6<3> (х — у), тогда
поле будет удовлетворять асимптотическим условиям (см. также работы
Циммермана [8761 и Редмонда и Урецкого [ 663]).
Асимптотическое условие при t —>-^оо можно рассматривать как требование,
чтобы эффективное взаимодействие между двумя частицами обращалось в нуль,
когда расстояние между ними R —>-со. Поэтому асимптотическому условию для
t —можно придать вид асимптотического условия для больших R при конечных
временах (см. работы Гаага [349, 351]). Араки [12] доказал, что при
обычных предположениях аксиоматического подхода (включая локальность)
усеченные функции Уайтмана с равными временами экспоненциально стремятся
к нулю, когда наибольшее расстояние R между точками стремится к
бесконечности, причем показатель степени равен mR, где т, — наименьшая
масса, имеющаяся в теории (см. также статью Делль Антонио и Гюльманеллп
[160]). Усеченные функции Уайтмана ГГт’ (хи ... хп) суть такие средние по
вакууму от произведений операторов, из которых симметричным образом
вычтен вклад от вакуумных промежуточных состояний:
W™(x{, ... xn) = W(T(xu ... xn) + ZWlp(xi> ••• xh) ••• iy(T"-fe)(...,
xn).
В этой рекуррентной формуле сумма распространяется по всем разбиениям п
точек хь ... хп на более чем одну группу, причем порядок точек х1: ... хп
в правой части тот же, что и d левой.
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 7Q3
Леман, Симанзик и Циммерман [491, 493] провели анализ релятивистских
теорий поля, в которых выполнены аксиомы I—IV и асимптотические условия,
с помощью средних по вакууму как от хронологически упорядоченных, так и
от запаздывающих произведений операторов поля, поскольку эти произведения
более удобны для изучения следствий из асимптотических условий.
Асимптотические условия приводят к некоторым рекуррентным соотношениям
для матричных элементов этих произведений. Некоторые свойства этих
Предыдущая << 1 .. 297 298 299 300 301 302 < 303 > 304 305 306 307 308 309 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed