Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
а=1
Произвольный эрмитов оператор А (х) раскладывается по функциям /а (х)
следующим образом:
А (х) = 2 {/<* (X) Аа (х0) + и (х) Аа* (а;„)], (18.102)
а
где
Аа (х0) = i d3xA (х) ~ ]а (х). (18.103)
В случае А (х) = cpin (х) оператор ф^ (ж0) от времени не зависит и
будет
out out
обозначаться ф“п . Эти операторы рождают приходящие (уходящие) части-
out
цы в состоянии /„. Для состояний, получающихся при действии этих
операторов на вакуум и образующих полный набор, примем обозначение
| at, a2, ... art)iri = tpa? фа1 . .. фап j %). (18.104)
out у и! Tin in тш 1
out out out
.S'-матрица есть унитарный оператор, связывающий приходящие (ин-) и
уходящие (аут-) состояния:
! аи . . . an)iB = S\aly ... an)out, (18.105)
пли, равносильно,
Фот (х) = *S"Vin (ж) S, (18.106)
причем
S*S = SS* = i. (18.107)
Такая теория является феноменологической в том смысле, что она
определяется заданием 4-матрицы. По соображениям математического удобства
введем оператор т|
4 = е"1. (18.108)
Оператор фазы ц эрмитов, вследствие чего 4-матрица унитарна. Конкретная
реализация 4-матрицы осуществляется путем задания с-число-вых функций
hn(x 1, . . . хп), через которые оператор фазы ц записывается в виде
сс
11 = 2 77г \ d*Xl ? ? ? [ dixnK {Хи • • • хп): фщ (Xi) . . . фш (хп):.
(18.109)
—, ? J j out out
п— 4
Сумма в (18.109) начинается с = 4, так как первым реальным процессом,
который должна описывать 4-матрица, является упругое рассеяние частицы па
частице. Мы будем предполагать, что функции hn (ад, . . . хп)
45 с. Швсбср
70в
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
ведут себя достаточно хорошо, так что существуют их фурье-образы fcn.(ki,
... kn), определяемые согласно
К (*1. ???хп) = ”5^72 \ d*k' • • • ^ i=1 (*i. • • • *«)•
(18.110)
Если в формулу (18.109) подставить это представление hn интегралом Фурье
и такое же представление (18.94) для операторов cpin , то матри-
out
ца г) запишется в виде
со
п = 2 7Л \ diki • • • 5 dikn х
71—4
X h'n{ki, . . . kn)b(k\ — р2) ... b(kl— р2) : фиДАО . . . ф1п (кп):.
(18.111)
Существенно, как это видно из выражения (18.111), что в определение ^-
матрицы величины hn входят взятыми только на массовой поверхности (4? =
р2). Вне массовой поверхности эти функции могут быть выбраны произвольным
образом. Другими словами, задание ^-матрицы не определяет функции hn(xi,
.. . хп) однозначно.
Предположение об инвариантности .S'-матрицы относительно произвольных
неоднородных преобразований Лоренца
U (а, Л) SU~X (a, A) = S (18.112)
означает, что
hn (ку, . •. кп) = Ь (ку кп) hn (ку, ... кп) (18.113а)
(трансляционная инвариантность),
К(ки ???К) = К(Аки ... Ккп). (18.1136)
Отсюда следует, что функции hn зависят только от скалярных произведений
kj-kj. Кроме того, очевидно, что в силу эрмитовости оператора фазы tj и
оператора поля ф
К(ки ... kn) = hn( — ки . .. —кп), (18.114)
а также что благодаря свойству симметрии нормального произведения функция
1гп (ку, . . . кп) симметрична:
К (ки ... кп) = 3>Tin (ку, .. . кп), (18.115)
где ^ — оператор любой перестановки совокупности чисел 1, 2, ... п. Если
теория СРГ-инвариантна, то функция hn будет действительной и в силу
(18.114)
hn(ky, ... kn) = hn(-ky, ... —кп). (18.116)
Наконец, чтобы наблюдаемые величины, такие, как эффективные сечения
рассеяния и реакций, были конечными, функции hn(ky, . .. кп) не должны
содержать каких-либо четырехмерных 6-функций; кроме того, функции hn (ку,
.. . кп) должны быть непрерывными функциями своих инвариантных
переменных. Требования к функциям hn формулировались выше только на
массовой поверхности, т. е. когда ку = р2. Однако поскольку за пределы
массовой поверхности можно экстраполировать их
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ)
707
как угодно, то можно потребовать, чтобы свойства симметрии и
вещественности соблюдались и вне массовой поверхности.
Пусть заданы ин-поле фш и А-матрица, которая, кстати, также может быть
представлена в виде
СО
s = 1 + 2 ^ dixt • • • 5 dixnan (*!> ??? ха)- ф1п (*0 •
• ? фш (Хп)(18.117)
П—1
где функции crh имеют свойства, аналогичные обсуждавшимся выше свойствам
функций hn х). Аут-поле фои1 (х) связано с полем фш (х) согласно
фощ (х) = А'1 ф1п (х) S. (18.118)
Это соотношение можно также переписать в виде
фоиг(а:) = ф1п(а:) + ^'1[фш(а:), ^]- (18.119)
В силу перестановочных соотношений [фт(я), Фш {х')\ = (х — х'\ р) для
любой операторной функции О от фш формально можно написать
(Фн,(*),0] = »$ dVA(i-i'; (18.120)
(Вспомните определение функциональной производной в § 5 [гл. 7.) В
частном случае О = фш (У)
и соотношение (18.120) приводит к правильному выражению для коммутатора.
С помощью операции функционального дифференцирования соотношение (18.119)
можно записать в виде
4- СО
Фот (х) = фш (х) + i d*x'A (X — х’) (18.122а)
—со 4-со
= ф1п(ж)— dix'A(x — x')j(x')} (18.1226)
— СО
где оператор тока / (х) определен при помощи равенства
+оо -\-со
^ d*x'A (х — х') / (х) = — i ^ dix’A (х — х') S~г • (18.123)
